terça-feira, 28 de dezembro de 2010

Revisão básica de vetores

Como serei monitor da turma de 2011 de Geometria Analítica e Álgebra Linear da FCA, começo nesse fim de dezembro a escrever, sem muito rigor, sobre tópicos da matéria. Faço isso por dois motivos. Primeiro, o rigor em excesso no início pode ser prejudicial e até afugentador, por isso, um texto informal ajuda na compreensão geral do assunto. Segundo, pretendo melhorar o blog como ferramenta de auxilio da monitoria, assim, preciso seguir minimamente os tópicos da ementa e assim farei de modo descontraído, pois os formalismos estão nos livros.

Se o início da disciplina não for feito em cima de matrizes e sistemas lineares, então possívelmente será feito sobre vetores.

Nosso primeiro contato com vetores acontece geralmente no ensino médio, e é feito de maneira a familiarizar o aluno com as operações básicas. Uma breve retrospectiva:

(1) Define-se vetor como sendo um segmento de reta orientado, mas essa não é uma definição interessante e veremos o por quê mais adiante.

(2) Representamos algebricamente os vetores no plano como sendo duplas de números. Se os vetores partem da origem, então a dupla $(x,y)$ representa o "segmento de reta" que sai origem e chega até o ponto $(x,y)$. Mais geral, dado um ponto inicial $P_0=(a,b)$ e um ponto final $P=(c,d)$, temos $\vec{P_0P}=(c-a,d-b)$ o vetor que liga $P_0$ a $P$.


(3) A soma vetorial é feita componente a componente. Se $\vec{v_1}=(x_1,y_1)$ e $\vec{v_2}=(x_2,y_2)$ são vetores, então a soma fica $\vec{v_1}+\vec{v_2}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$. A subtração é vista como a soma de vetores, mas o vetor que subtraí fica com o sinal contrário:

$\vec{v_1}-\vec{v_2}=\vec{v_1}+(-\vec{v_2})=(x_1-x_2,y_1-y_2)$.

Os vetores obedecem aos axiomas de espaço vetoriais, coisa que podemos falar mais adiante. Basicamente, a soma é comutativa e associativa, existe inverso aditivo, elementro neutro da adição, e etc etc etc...

(4) Graficamente, a soma vetorial é feita pela regra do paralelogramo.



(5) Muitas vezes precisamos determinar o tamanho do vetor. A visualização gráfica do vetor no plano sugere naturalmente que o comprimento do vetor venha do teorema de Pitágoras. Ou seja, chamamos de módulo de $\vec{v}$, $||\vec{v}||$, o comprimento do vetor v, cuja expressão é $||\vec{v}||=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$.

(6) Não existe "divisão" vetorial, mas existe multiplicação de um vetor por um escalar: $k\vec{v}=k(x_1,y_1)=(kx_1,ky_1)$ com $k\in\mathbb{R}$. Se $k=\dfrac{1}{||\vec{v}||}$, então $k\vec{v}=\dfrac{\vec{v}}{||\vec{v}||}=\vec{u}$ e dizemos que u é vetor unitário. O que acabamos de fazer foi dividir cada componente de $\vec{v}=(x_1,y_1)$ pelo tamanho do vetor, assim, geramos um novo vetor $\vec{u}$, cuja direção é a mesma de $\vec{v}$, mas seu comprimento é menor que o original e tem tamanho 1.

(7) O produto escalar (ou produto interno) é uma operação entre dois vetores que a eles associa um número, Normalmente se $\vec{v_1}=(x_1,y_1)$ e $\vec{v_2}=(x_2,y_2)$, então $\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}=x_1x_2+y_1y_2$. Digo normalmente pois existem outros tipos de produtos internos, mas isso falaremos depois.
O produto vetorial é outro tipo de operação entre dois vetores e que a eles associa um novo vetor, ortogonal aos dois primeiros. Dedicarei um post especial para estudar o produto escalar e o vetorial, explicar algumas propriedades e principalmente aplicações na física.

Bem, se os vetores são os mesmos que estudamos no colégio, qual a diferença para os vetores de agora?

(i) Os vetores agora são fundamentados dentro de um assunto maior, que é a álgebra linear. A álgebra linear se ocupa basicamente das transformações lineares, que podem ser vistas como funções entre espaços vetoriais. Essas coisas farão mais sentido no futuro, quando as estudaremos mais a fundo, etc. Uma aplicação dos conceitos está, por exemplo, nos sistemas lineares $Ax=b$, quando dizemos que é necessário e suficiente que b pertença à imagem da transformação linear A para que exista solução.

(ii) Na realidade, a álgebra linear é uma disciplina separada da geometria analítica, mas num curso introdutório é interessante associá-las pois a geometria ajuda a entender os conceitos da álgebra, assim como a álgebra vetorial vai facilitar muito alguns problemas de geometria.

(iii) Uma outra coisa muito interessante que a álgebra linear permite é generalizar o conceito de dimensão. No plano, um vetor é dado por uma dupla de números. No espaço, uma tripla. Em 4 dimensões, são necessários 4 números, ou uma quádrupla, para determinar o vetor, e assim seguem as outras definições (de produto interno, módulo, etc). Isso não significa que essas dimensões existam fisicamente, mas elas fazem sentido matematicamente.

(iv) A palavra vetor vem do latim vector - aquele que transporta alguma coisa. O significado etimológico não se relaciona com a definição de "segmento de reta orientado", porém, é mais intuitivo pensar em vetores como transportadores de pontos, como a definição da palavra sugere. Mas como assim?

Bem, imagine um mapa cartográfico - vamos pegar dois pontos nesses mapa, $P_0=(x_1,y_1)$ e $P=(x_2,y_2)$. Suponha que estejamos dentro de um carro em $P_0$ e nosso destino é chegar em $P$. Sabemos, como eu expliquei acima, que um vetor age sobre os pontos, transportando-os. Vamos empregar esta idéia em nossa situação: O vetor que liga $P_0$ a $P$ é dado por $\overline{P_0P}=P-P_0=(x_2-x_1,y_2-y_1)$. Se somármos esse vetor com o nosso ponto inicial, $\overline{P_0P} + P_0$, vamos obter: $(x_2-x_1+x_1,y_2-y_1+y_1) = (x_2,y_2) = P$, uma vez que $\overline{P_0P} + P_0=P-P_0+P_0=P$ ou seja, bastaria nos deslocarmos $||\overline{P_0P}||$ unidades de comprimento na direção de $\overline{P_0P}$ para que chegássemos ao ponto $P$. Então repare que de fato os vetores representam deslocamentos de um ponto até outro quando efetuamos essa soma.



Ano que vem começo a falar da parametrização de reta e de outras coisas, utilizando a ideia acima. Também estou devendo um post sobre Taylor em duas variáveis, o que farei provavelmente em fevereiro. Abraços!



 

quarta-feira, 15 de dezembro de 2010

O cálculo e desenho do campo elétrico.

Engraçado pois eu não consigo responder nem colocar comentários no meu próprio blog, que coisa estranha. Mas segue aqui minha resposta ao comentário do Júlio feito nesse post:

Olá Julio, obrigado pela visita ao blog. Quanto ao problema, posso ajudá-lo sim, mas não sei se vou ser preciso pois não tenho todas as informações - por exemplo, não sei a geometria dos condutores nem as condições de contorno dentro das quais eles estão inseridos, mas enfim:

Eu suponho que você esteja fazendo numericamente o cálculo do potencial (bidimensional, $V(x,y)$) numa região do plano cartesiano, para depois calcular o campo elétrico.

Quanto ao cálculo do potencial elétrico, acho que isso não tem muito segredo. 1 - Define-se uma malha (matriz) de pontos dentro da região que você quer analisar, 2 - Atribui-se a cada ponto um valor inicial de potencial diferente de zero para evitar problemas, 3 - Como o potencial em cada ponto é a média dos potenciais dos pontos vizinhos, você faz um loop com essa condição e pára quando a diferença entre o novo potencial e o antigo seja menor que um $\epsilon$ estabelecido. No final deste processo, sua matriz vai conter o valor do potencial elétrico em cada ponto do espaço. Quanto maior sua quantidade de pontos, em geral melhor será a sua solução, porém mais demorado será para fazer estes cálculos.

Feito isso, resta agora calcular campo elétrico em cada ponto e é isso que o comando do Matlab gradient faz: dado uma matriz com o potencial numérico, ele retorna duas matrizes com as componentes do campo elétrico. Eu não conheco um comando no Scilab que faça isso automaticamente. Mas vamos pelo lado mais hard:

Lembre-se que em coordenadas cartesianas, o campo elétrico é dado da seguinte maneira:

$\vec{E}=-\vec{\nabla}V = \left(- \dfrac{\partial V(x,y)}{\partial x}, -\dfrac{\partial V(x,y)}{\partial y}\right)$

Portanto, é natural que o comando retorne duas matrizes, uma para as componentes x do campo elétrico ($E_x$) e outra para a y ($E_y$).

O problema então é calcular numericamente as derivadas parciais de V para encontrar as componentes do campo, como faremos?

Da definição de derivadas parciais, temos:

$E_x= - \dfrac{\partial V(x,y)}{\partial x}=\lim_{h\to0}-\dfrac{V(x+h,y)-V(x,y)}{h}$

Analogamente para y: 

$E_y= - \dfrac{\partial V(x,y)}{\partial y}=\lim_{h\to0}-\dfrac{V(x,y+h)-V(x,y)}{h}$

Essas derivadas significam o seguinte: No plano, fixe um ponto $(x,y)$ cujo potencial é $V(x,y)$. Ande, na direção x, uma distância h. Veja, nesse ponto $(x+h,y)$, quanto vale o potencial $V(x+h,y)$. Agora faça a subtração dos dois e divida por quanto andou. Essa é a taxa de variação da sua função V quando você se movimenta em relação ao eixo x. O resultado para y é análogo.

Você pode tomar como aproximação numérica das derivadas parciais o próprio quociente que as define. Para x, isso fica:

$E_x=-\dfrac{\partial V(x,y)}{\partial x}\simeq -\dfrac{V(x+h,y)-V(x,y)}{h}$

É possível utilizar também como boa aproximação outro método de derivação numérica:

$E_x=-\dfrac{\partial V(x,y)}{\partial x}\simeq -\dfrac{V(x+h,y)-V(x-h,y)}{2h}$

Este último sai da subtração das séries de Taylor para $f(x+h)$ e $f(x-h)$ truncada na primeira ordem.

Para y segue do mesmo jeito. Então vejamos: Para determinar $E_x(x,y)$ precisamos calcular $\dfrac{V(x+h,y)-V(x,y)}{h}$. $h$ representa a distância entre os pontos da malha, o termo $V(x+h,y)$ representa o potencial no ponto seguinte ao $V(x,y)$. Esses dois potenciais são conhecidos. A distância $h$ que você anda é arbitrária e depende de como você determinou sua malha.

Então para fazer esses cálculos numericamente usei as seguintes linhas de código no Scilab:

for j =1:N  
for k =1:N
      EX(j,k) = -(V(j,k+1)-V(j,k))/0.5
      EY(j,k) = -(V(j+1,k)-V(j,k))/0.5
    end
  end

Nesse exemplo eu utilizei h=0.5. N é a dimensão da sua malha, EX(j,k) vai receber o valor do campo $E_x$ em cada ponto j,k. O meu potencial foi chamado de V(j,k), onde j é para linha e k é para coluna.

O fim desse loop vai te gerar duas matrizes. Imagine então que vc queira saber qual é o potencial no ponto (4,5). Procure então EX(4,5) e saberá quanto vale o campo na direção x e EY(4,5) para saber quanto vale na direção y. Se quiser saber o campo total nesse ponto, faça: $|E(4,5)|=\sqrt{E_x(4,5)^2 + E_y(4,5)^2}$.

Tendo essas duas matrizes é possível desenhar os vetores do campo com o Scilab. Basta usar o comando champ(), que admite quatro (ou mais) parâmetros de entrada: o primeiro é o tamanho da sua malha na direção x, se sua malha for NxN, então 1:N. O segundo é para y, então 1:N. O terceiro parâmetro é a matriz com as componentes do campo em X e o quarto é a matriz das componentes Y. Então no nosso caso teriamos: champ(1:N, 1:N, EX, EY). O resultado que fiz agora rapidamente foi esse:



Nele calculei o potencial numa região do espaço confinada por paredes. A parede no topo tem 30V de potencial e as laterais e inferior com 5V de potencial. A malha que defini foi 10x10. Desenhei as equipotenciais (pixels gigantes) com o comando Matplot(V) (V era a matriz cujas entradas eram os valores dos potenciais em cada ponto) e o campo vetorial com o champ.

Há outros parâmetros passíveis de modificação nesse comando champ, pois, por exemplo, ele desenha o vetor com tamanho proporcional ao módulo. É possível desenhar vetores de mesmo tamanho, mas coloridos de acordo com o módulo, usando o comando champ1:



Embora eu não saiba qual o critério de cores, ele dá um desenho bonitinho do campo. Há mais informações no help do Scilab também, talvez encontre alguma coisa la.

Espero ter ajudado e resolvido sua dúvida. Boa sorte no restante do trabalho. Abraços.

domingo, 12 de dezembro de 2010

Apanhado geral de fim de ano

Depois de um hiatus de mais de um mês, devido a necessidade de colocar as matérias em dia e justificável por eu ter viajado e perdido algumas aulas na faculdade, volto a postar no blog, agora de férias. Espero que eu consiga escrever pelo menos uns 3 posts durante esse período de (falso) descanso.

Desbravando a madrugada (como sempre), pretendo comentar sobre o ano que passou, retomar um objetivo inicial do blog e escrever sobre qualquer coisa.

Esse ano foi importante pois amadureci muito. No lado pessoal, ultrapassei barreiras que antes me eram intransponíveis e pude viajar "a estudos" com as despesas pagas pelo Santander, fruto do empenho na faculdade. Academicamente, cresci em varios aspectos: aprendi a programar, aprendi muito mais física do que imaginava aprender (termodinâmica, eletricidade), consolidei alguns conhecimentos de cálculo, tanto pela continuidade da monitoria em cálculo 2, quanto pelos insights que obtive estudando eletromagnetismo, aprendi álgebra linear e continuo revisando-a para compreender melhor meu trabalho de iniciação científica, aprendi um pouco mais sobre trabalho e ergonomia, enfim, essas são algumas das coisas que tive esse ano e que foram importantes para mim. Algumas delas ajudaram-me a compreender melhor a ciência, outras serviram para despertar minha curiosidade, e, no geral, fizeram-me perder o medo frente ao conhecimento. Isso é interessante, pois acredito que não ter medo de enfrentar um gigante significa meio caminho andado para vencê-lo.

Deixemos de falar somente de mim pois se assim fosse o blog não seria blog, seria diário. No mês que vêm o blog completará 1 ano de idade, com até lá provavelmente uns 30 posts e mais de 1000 visitas (das quais umas 500 devam ser minhas, hahaha). Falando sério, é muito legal saber que até gente da Rússia andou entrando por aqui. Esse espírito da internet é bacana, navegar sem restrições e ocasionalmente visitar alguns sitezinhos. É como se a internet fosse uma grande cidade e cada casa fosse um site. Vá para o bairro mais distante, fuja dos grandes centros, pegue a rua mais vazia e entre numa casa qualquer - esse é meu endereço e talvez você encontre uma coisa boa nele. Quando criei esse espaço, prometi que divulgaria alguns trabalhos da faculdade e desde então nunca coloquei nada. Como nesse segundo semestre tive a oportunidade de fazer muitos relatórios e alguns trabalhos interessantes, acho que agora é a hora certa de cumprir com o que escrevi. Então vamos lá:

Dentro da disciplina de Física 3 (eletricidade e magnetismo) desse semestre, nas aulas práticas fizemos relatórios e alguns deles eu coloquei no espaço do blog no 4shared. Alguns são simples, outros nem tanto, mas talvez possam servir de referência para alguém que esteja fazendo algo parecido. Os relatórios se dividem em:
Lei de Ohm - Algumas medidas para investigar a famosa relação V=Ri;
Circuito Equivalente Thévenin - É possível simplificar alguns circuitos elétricos, mantendo suas características originais - esse é o teorema de Thévenin;
Resistência interna de instrumentos de medida - Nesse relatório fizemos algumas medidas para verificar como a resistência interna dos instrumentos afetam as mesmas. Há alguns gráficos interessantes nesse relatório;
Circuitos RL, RC, RLC - No relatório sobre circuitos RLC fiz uma breve introdução ao formalismo de fasores, que simplifica bem os cálculos de corrente e tensão em corrente alternada. Recomendado.
Bobinas de Helmholtz - Uma maneira interessante de se calcular a intesidade do campo magnético da terra, embora meus resultados experimentais tenham ficado ruins nesse relatório.

O endereço para baixar os relatórios estão em:


Deve haver, sem sombra de dúvidas, alguns erros de tipografia e talvez outros maiores. Peço que quem descobrir algum deles me notifique para correção, por favor.

Além de relatórios experimentais, realizei mais dois trabalhos nessa disciplina de física. Um era montar um rádio empregando as ideias que aprendemos durante o curso. Esse relatório então foi feito para mostrar brevemente o que utilizamos para montar, quais foram os conceitos principais, etc., além de conter duas fotos do transmissor que montamos.


Por fim, fiz um trabalho que envolvia o cálculo do potencial elétrico, numa região do espaço, numericamente. Programei o método sugerido no livro Curso de Física de Berkley e o resultado vai no papel que segue. No Scilab consegui desenhar as equipotenciais (foto abaixo) e as linhas de campo, mas esta última não tive tempo de colocar junto ao trabalho final. Quem quiser bater um papo sobre essas coisas pode mandar e-mail ou mesmo deixar um comentário.



Isso foi, basicamente, meu extra classe nessa disciplina nesse semestre.

Já em cálculo numérico fizemos, eu e meu grupo, a modelagem de um sólido de revolução utilizando curvas splines, tópico que aprendemos em interpolação polinomial. Aproximamos o contorno de uma garrafa com funções e com elas conseguimos desenhar o objeto em 3D, além de ter calculado numericamente as integrais de área e volume, com resultados muito bons. Não fizemos, mas teria sido possível também calcular a massa da garrafa à partir da densidade do vidro. Isso é muito interessante pois é como se fosse uma simulação de manufatura de algum produto - dá para ter ideia de quanto vai de material, qual vai ser o peso, etc. Segue abaixo algumas fotos do resultado final:






Quanto a escrever sobre qualquer coisa, eu aconselharia ao leitor que baixou os relatórios acima, que os utilizasse com moderação. Não que eu tenha medo de plágio ou reclame direitos sobre a obra, nada disso, o conhecimento está ai para ser conhecido, mas sim por que tenho visto de perto, no dia a dia da faculdade, uma grande preguiça nos estudantes, que os fazem copiar e colar trabalhos quando na verdade espera-se deles autoria própria: "Faça as coisas por sí só. Seu custo será fazê-lo. Seu premio será tê-lo feito."

Para aqueles que fazem seus relatórios, mas têm medo de entregar pois o experimento não resultou no que era esperado, eu digo que erros são naturais e que o esperado, de fato, é que ocorram erros. Documente esses desvios nos relatórios com clareza, mas não "passe maquiagem" nos resultados. Seja sincero!

No mais, esse foi o primeiro post das férias. O segundo, se tudo der certo, virá com Taylor em duas variáveis. Ainda não sei o que vem depois dele, mas pode ser algo relacionado a combinatória, simetrias, etc... Abraços e boa noite!


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