segunda-feira, 26 de abril de 2010

Número e.

No post anterior falei sobre o número e, e de tanto escrever esqueci do seu valor hehehe!

Aí vai então o número e, com 100 decimais:


2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274

Note que os números em negrito causavam discórdia em tempos passados pois pensava-se que e podia ser uma dízima periódica.

Vai abaixo também uma foto de Leonhard Euler, o cara que estudou as propriedades desse número e expandiu sua aplicação no campo dos complexos.



sábado, 24 de abril de 2010

O numero e.



Talvez seu primeiro contato com o número e tenha sido no ensino médio - uma passada rápida por logaritmos, um comentário do professor e mais nada que lhe despertasse o interesse. Você certamente se perguntou "Mas por que esse número? Temos a base 10, a base 2. Não precisamos de um número complicado para base do log". Dai pra frente você se esquece da existência da coisa, estuda para o vestibular e entra num curso superior voltado às exatas e se depara com ele novamente. Mas dessa vez o professor não deu aquela passada rápida; ele nem mesmo comentou sobre o número, só disse que daqui para a frente ele apareceria em quase tudo! Logo em seguida  apresentou propriedades, resolveu inúmeros limites com ele e ln's. Seu queixo cai e você tenta pescar uma vaga memória daquele dia em que o professor de cursinho falou do número e mas pulava e dançava ao mesmo tempo - você se lembra mais dos pulos e danças do que do número. Você se desespera e briga consigo mesmo, por não ter prestado a atenção...
Se você leu e se identificou com essa história, fique calmo, esse post vai lhe informar sobre o número de Euler e sua importância na matemática.

Os matemáticos gregos e principalmente os da Escola pitagórica acreditavam que o universo era "governado" pelos números inteiros positivos. Embora soubessem que algumas medidas não podiam ser expressas por inteiros, eles tinham certeza de que essas medidas poderiam ser expressas por razões entre inteiros positivos, de modo que todo número estaria contido numa reta ordenada com os inteiros e suas razões. A decepção veio 400 anos antes do nascimento de Cristo, quando os pitagóricos descobriram que o tamanho da diagonal dum quadrado de lado 1 não podia ser expressa como uma razão de inteiros. Essa contradição da crença de Pitágoras e seus seguidores de que o mundo era descrito por números perfeitos demorou a ser aceita por eles mesmos.

No fundo o problema dos gregos foi de descobrir o número que resolvia a equação:

1² + 1² = x²
2 = x²
x= 2(¹/²)

Conseguiu-se provar que tal número existia e a crença pitagórica caiu por água abaixo.  Além do mais, a idéia de que a reta numérica fosse completa com os inteiros e os racionais era falsa. Isto é, ela continha buracos - na verdade as posições onde os irracionais se encaixariam.

A história segue então com o "nascimento" de um novo conjunto - o dos números reais, que engloba todos os anteriores (naturais, inteiros, racionais e irracionais) e que goza da propriedade citada acima: ele é completo - isto é, não contém buracos. 

Então dentro desse conjunto dos reais, em que os números poderiam assumir uma forma decimal infinita (como por exemplo 0,23232323...), a matemática moderna começou a se estruturar e obviamente permitiu novas aplicações em outras áreas. E dentro dessas aplicações é de onde surge o numero irracional de Euler e. 
Na economia, por exemplo, aparece em juros compostos; na biologia surge no crescimento de populações; decaimento radioativo na química, entre outros. Em geral, quando estudamos as variações de grandezas em função de uma variável (isso explica por que esse número está intimamente ligado ao cálculo) cuja variação é proporcional a grandeza naquele instante, a constante aparece. 
Sua importância também decorre do fato que se definirmos uma função exponencial de base e, e^x, temos que sua derivada é ela mesma. Vejamos por que:

Primeiro tomamos a seguinte derivada utilizando uma propriedade dos logaritmos onde a^x é uma exponencial qualquer de base a:

 
pois ln(a) é uma constante.

Agora façamos a mesma derivada pensando numa regra da cadeia entre duas funções, ln x e a^x.


O resultado obviamente deve ser o mesmo do anterior, já que as funções são as mesmas.
Dessa segunda equação, tiramos que





Que é uma derivada genérica de qualquer função exponencial. Tomando agora a=e, provamos o resultado desejado:

Volto a ressaltar que essa propriedade é muito importante, utilizada principalmente na resolução de equações diferenciais.

A breve introdução histórica foi feita para mostrar que a crença grega era equivocada, no sentido de que somente números inteiros e razões poderiam descrever a natureza, mas estava certa em afirmar que os números descrevem de fato a natureza e seus fenômenos, e o numero de Euler é um dos que surge em muitos campos e por isso seu logaritmo leva o nome de logaritmo natural.

Curiosidades:

- O número e é irracional transcendente: Isto é, não existe polinômio com coeficientes reais tal que P(e)=0.
-  Existem diversas expressões matemáticas que resultam no e. Aqui vão algumas:















Referências: 
Livro - Meu professor de Matemática - Autor: Elon Lages Lima
Livro - Do zero ao infinito - Constance Reid

sábado, 10 de abril de 2010

Módulo


Uma dúvida muito comum nos atendimentos dessa semana anterior a primeira prova de cálculo foi sobre a função módulo e como resolver problemas de limites e derivadas que envolvessem módulo. As dúvidas são naturais, na medida em que o ensino médio cada vez mais se volta ao preparo de alunos para o vestibular e não para o que vem depois da aprovação. Se houvesse uma contextualização (não necessariamente aplicações diretas dos assuntos), pelo menos uma apresentação sobre em que estágio do aprendizado o assunto seria utilizado (e por quê), talvez a matemática e suas ramificações seriam mais atraentes para quem procura aprender e, por conseqüência, as dúvidas elementares seriam menos freqüentes.

Vamos então rever a idéia de módulo analisando os exercícios do livro-texto empregado no curso de Cálculo I da FCA (Cálculo Vol. I - James Stewart 5a Edição).

Pág. 112 - Ex. 39-44 - Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.

39 - 


Bem, primeiros vamos pensar na função que está dentro do módulo. A soma x+4 é positiva sempre que e negativa quando . Então dividimos a função, e depois o limite, em 2 casos:


1o caso: 
2o caso: 


Como os limites laterais são iguais, segue que o limite existe e é 0.

40 - 


Vemos que a função dentro do módulo é igual a da anterior, segue então igualmente que a soma x+4 é positiva sempre que  e negativa quando. Então o limite é equivalente a:




pois estamos nos aproximando de -4 à esquerda, e isso significa que estamos utilizando valores de x tais que . Mas simplificamos a expressão de modo que obtemos: 


41 -


A função pode ser dividida, como anteriormente fizemos, em 2 casos:

 e obtemos:       



Então é evidente que o limite de f(x) quando x tende a 2 pela direita é diferente do limite quando x tende a 2 pela esquerda. Então o limite não existe.

Os outros exercícios seguintes são análogos e deixo para resolverem.

A idéia então é criar um "algoritmo" mental para resolver esses problemas: Quando surgir módulos, pensar em dividir caso a caso, respeitando os intervalos de variação da função (para quais valores ela é positiva, para quais ela é positiva) e aplicar os limites apropriados para cada caso.

Para a derivada da função módulo, é bom olhar a demonstração na página 170.

Na página 192 temos um bom exercício de módulo envolvendo derivadas. Ai vai ele:


58 - Onde a função é diferenciável? De uma fórmula para h'.

Primeiro precisamos encontrar números que zeram o primeiro módulo e o seguindo módulo e depois analisamos os intervalos:

  e      

Temos então que fazer uma intersecção de intervalos (verifique), de forma que a função fica escrita como:


Simplificando:


 E derivando:



Finalizo aqui então esse post que tem como intuito ajudar o pessoal que está com dificuldade em módulo. Qualquer dúvida deixar no comentário ou no e-mail. Abraços

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