Posição Relativa - Retas e Planos

Fiquei um tempo sem postar devido ao retorno às aulas no fim do mês passado, que tomou-me tempo para colocar as coisas em dia. Mas sem mais delongas, hoje vamos falar de um assunto muito interessante, que é a posição relativa entre retas, retas e planos, e planos. 

Esse tópico é passado um tanto quanto rápido nas aulas e não deveria ser assim, pois nele o apelo geométrico aliado ao poder da representação vetorial são notórios e ajudam o estudante a compreender os vetores no espaço e suas relações, sem falar que é um assunto que representa, de fato, o nome da disciplina. O raciocínio e manejos necessários para entendê-lo, quando dominados, demonstram que o estudante compreendeu a teoria com solidez.

Nesse sentido vou tentar mostrar como a visão geométrica e os conceitos da álgebra vetorial nos dão sustentação para resolver os exercícios mais comuns nesse tipo de assunto, sem que precisemos decorar fórmulas. No que segue, vou utilizar os conhecimentos padrões e o fato de que o produto misto entre três vetores é nulo se e somente se os três vetores forem coplanares (I).

Posição relativa entre retas: Lembremos que a reta, na sua representação vetorial ou paramétrica, é escrita da seguinte forma $r:\,X=P_0+t\vec{v}$. No espaço $\mathbb{R}^3$, essa equação se desdobra em três: $(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\{v_x,v_y,v_z\}$, uma para cada coordenada. O ponto $P_0$ é um ponto qualquer, e $\vec{v}$ é o vetor diretor da reta.

Então consideremos duas retas no $\mathbb{R}^3$, $r_1$ e $r_2$, com vetores diretores $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$. Há três casos a se considerar:

1. $r_1$ e $r_2$ são paralelas (podem ou não ser coincidentes).
2. $r_1$ e $r_2$ são concorrentes.
3. $r_1$ e $r_2$ são reversas.

Vejamos qual a implicação, em termos vetoriais, de cada caso:

1. Se $r_1$ e $r_2$ são paralelas então há três fatos a se considerar:
• Os vetores diretores $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ também são paralelos. Isso implica que $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ são proporcionais, isto é, existe algum escalar $k\in\mathbb{R}$ tal que $\vec{v}_1=k\cdot\vec{v}_2$ (lembre-se que os vetores são livres, e por isso a proporcionalidade não requer colinearidade). 
• Além disso, por serem paralelas, as retas $r_1$ e $r_2$ estão contidas num mesmo plano $\pi$, de modo que se tomarmos o segmento $\overline{P_2P_1}$, sendo $P_1\in r_1$ e $P_2\in r_2$, ele deve estar em $\pi$ assim como estão $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ . A condição que expressa coplanaridade entre vetores é (I), ou seja $(\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\cdot\overline{P_1P_2}=0$. Repare na cadeia lógica de fatos: o produto misto é dado pelo determinante da matriz composta pelos vetores diretores da reta e um vetor fabricado que mora entre essas retas paralelas. Como os vetores diretores das retas são paralelos, isso implica que um é múltiplo do outro, o que implica numa linha ser múltipla da outra na matriz do produto misto, que implica no determinante ser zero. 
• As retas podem ou não ser coincidentes. Deixo para o leitor verificar quais são as condições que asseguram a coincidência das retas.
2. Se $r_1$ e $r_2$ são concorrentes, então há três fatos a se considerar:
• Os vetores diretores $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ não são paralelos e portanto não proporcionais, de modo que é impossível encontrar $k\in\mathbb{R}$ que verifique $\vec{v}_1=k\cdot\vec{v}_2$.
• A intersecção $r_1 \cap r_2 = \{P\}$ é um ponto que pode ser determinado igualando-se as coordenadas das duas retas e resolvendo o sistema resultante.
• Se tomarmos, assim como no caso anterior, um segmento que liga as duas retas, $\overline{P_2P_1}$, sendo $P_1\in r_1$ e $P_2\in r_2$, ele também estará contido num plano suporte (que contém) de $r_1$ e $r_2$. Por consequência, o produto misto $(\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\cdot\overline{P_1P_2}$ também se anula. Novamente, verifique que uma das linhas da matriz do produto misto é combinação linear das outras, o que implica na nulidade do determinante e do produto misto.
3. Se você verificou que as condições 1 e 2 não se aplicam ao caso que você estuda, então por exclusão as retas são reversas. Logicamente, o argumento é válido. Na prática, é pouco utilizado, uma vez que existem métodos, como os anteriores, para determinar essa característica entre duas retas. Então se $r_1$ e $r_2$ são reversas:
• Os vetores diretores $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ não são paralelos e portanto não proporcionais, de modo que é impossível encontrar $k\in\mathbb{R}$ que verifique $\vec{v}_1=k\cdot\vec{v}_2$.
•  A intersecção $r_1 \cap r_2 = \{O\}$. Além disso, as próprias retas estão contidas em planos diferentes.
• Neste caso, ao fabricarmos um segmento $\overline{P_2P_1}$, sendo $P_1\in r_1$ e $P_2\in r_2$, não haverá coplanaridade, de modo que o produto misto $(\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\cdot\overline{P_1P_2}\neq0$.

Repare então que as condições são algebricamente elaboradas, mas simples pois há a visualização geométrica do fato estudado:

Retas paralelas, a construção do plano suporte e do segmento entre as duas retas

Retas concorrentes, a construção do plano suporte, o segmento entre as retas e os vetores diretores das retas.

Retas reversas, os planos suportes de cada reta, o segmento entre as retas (que está em outro plano) e os vetores diretores das retas e do segmento. Com um pouco de boa vontade vc verá que o produto misto desses vetores não é nulo.

Posição relativa entre planos: Seja $\pi_1$ e $\pi_2$ dois planos no espaço e $\vec{n}_1$ e $\vec{n}_2$ os vetores normais aos respectivos planos. É possível ocorrer:

1. $\pi_1$ e $\pi_2$ são paralelos (podem ou não ser coincidentes).
2. $\pi_1$ e $\pi_2$ são concorrentes.

 Se o leitor compreendeu a ideia da análise da posição relativa de retas por meio de seus vetores diretores, então determinar a posição relativa de planos torna-se fácil pois basta verificar a relação entre os vetores normais:

1. Se $\vec{n}_1$ e $\vec{n}_2$ forem paralelos os planos também o serão. Se são paralelos, então são proporcionais - assim existe um $k\in\mathbb{R}$ que verifica a relação $\vec{n}_1=k\cdot \vec{n}_2$.
2. Se $\vec{n}_1$ e $\vec{n}_2$ não forem paralelos, então os planos são concorrentes.

Posição relativa entre reta e plano: Com base nos casos anteriores, tente verificar algumas possibilidades por si mesmo. No próximo post discuto essas posições relativas, bem como entro na questão de distância entre pontos, etc.

Abraços!