Máximos e mínimos com multiplicadores de Lagrange

CONFIRA O NOVO POST SOBRE MULTIPLICADOR DE LAGRANGE AQUI: Máximos e mínimos com multiplicadores de Lagrange 2

Diferentemente dos métodos empregados no cálculo de uma variável, encontrar os máximos e mínimos de uma função de duas ou mais variáveis pode ser às vezes penoso por conta da análise que deve ser feita: Se $f(x,y)$  é uma função definida numa região R compacta, é preciso investigar se os máximos e mínimos estão no interior de R ou se estão na propria fronteira de R. 

Geralmente, o que se tem é uma função de três variáveis $f(x,y,z)$, sujeita a qualquer condição restritiva que nos permita eliminar uma variável do problema. Daí ficamos com uma função de duas variáveis, então procuramos os máx. e mins. pelos os métodos usuais - no interior de R, derivamos e impomos as derivadas pariciais serem zero para encontrar os pontos críticos, candidatos a máximos e mínimos. Depois, analisamos, usualmente através da parametrização, a curva que descreve o contorno da fronteira.

Como esse processo pode ser muito complicado se as funções forem complicadas, se a borda da região for díficil de parametrizar, etc, uma boa e eficente saída é utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.

O método dos multiplicadores no caso bidimensional fala que, se nosso objetivo é maximizar uma função $f(x,y)$ sujeito à restrição $g(x,y)=c$, os extremos de $f$ em $g$ ocorrem nos pontos em que se verifica a relação:

$\nabla f = \lambda \nabla g$

Lógico que a eq. acima tem sentido somente se as derivadas parciais de primeira ordem de $f$ e $g$ existirem e $\nabla g$ não se anular na curva vinculante. Geometricamente, essa equação vetorial nos diz que o gradiente da função a ser maximizada é proporcional ao gradiente da função vinculante (*). Isso faz sentido, porque, imagine que queremos maximizar uma função $f(x,y)$ sujeita a uma curva parametrizada por $u(t)=(x(t),y(t))$. Assim, caímos num problema de maximização de cálculo I pois $f(x(t),y(t))$ é função de uma variável. Então temos:

$\dfrac{d}{dt}f(x(t),y(t)) = 0$

pela regra da cadeia:

$\dfrac{df}{dx}\dfrac{dx(t)}{dt}+\dfrac{df}{dy}\dfrac{dy(t)}{dt} =0 \Rightarrow \nabla f\cdot u`(t) = 0$

 O que quer dizer que o gradiente da f é ortogonal ao vetor tangente da curva - uma outra forma de dizer (*).

Agora quando buscamos maximizar uma função de três variáveis $f(x,y,z)$ sujeita aos vínculos $g(x,y,z)=c$ e $h(x,y,z)=k$, escrevemos:

$\nabla f = \lambda\nabla g + \mu\nabla h$

que nos leva a um sistema de 5 equações e 5 incógnitas:

$f_x = \lambda g_x + \mu h_x$

$f_y = \lambda g_y + \mu h_y$

$f_z = \lambda g_z + \mu h_z$

$g(x,y,z)=c$

$h(x,y,z)=k$

O subscrito denota a derivada parcial. Resolver esse sistema não-linear é um tanto quanto chato na maioria das vezes, mas é resolvível. Ocorre que podemos desenvolver uma ideia geométrica análoga ao que fizemos para o caso de duas variáveis e simplificar sua solução. Tomemos a figura abaixo

Essa é nossa situação em Lagrange com doís vínculos. Obtemos uma curva formada pela intersecção das duas superfícies vinculantes e queremos maximizar a função $f$ sujeita a esta curva. Os gradientes de cada restrição formam um plano, e o método dos multiplicadores exige que o gradiente da função a ser maximizada more neste plano. Esse resultado vai de encontro com o análogo bidimensional, quando o gradiente da função era proporcional ao gradiente da restrição ou ortogonal ao vetor tangente da curva restritiva (são as mesmas condições). Assim, é possível utilizar um resultado da geometria analítica para eliminar os multiplicadores de forma que se resolva somente um sistema 3x3. Vejamos como:

A condição para que três vetores sejam coplanares é que o produto misto entre eles seja zero. Faz sentido, pois o produto misto envolve um produto vetorial que no caso 3x3 é um determinante e como bem sabemos o determinante se anula quando existe uma linha proporcional as outras - este é nosso caso, pois queremos que $\nabla f = \lambda\nabla g + \mu\nabla h$. Então tudo se resume em realizar o produto misto $\nabla f\cdot (\nabla g \times\nabla h)$ e igualá-lo a zero.

E assim chegamos a uma equação equivalente a equação dos multiplicadores de Lagrange porém sem os multiplicadores. Esse resultado é interessante e simplifica muito o trabalho de se resolver maximos e mínimos condicionados, porém torna-se inviável utilizá-lo quando a função possuí  n variáveis (n>3) e exige que existam n-1 condições vinculantes. Mesmo assim, é uma ferramenta útil - verifique em exercícios já resolvidos pelo método usual.

No próximo post resolveremos um exercício por este método e verificaremos de fato que simplifica as contas. Abraços.

Os créditos da figura são do prof. Márcio Rosa.