Pringles - Tutorial Mathematica Parte 1

Parte 2 disponível em: Pringles Tutorial Parte 2

Gosto de ler livros de divulgação científica. Eles são geralmente interessantes, simples de acompanhar e conseguem despertar curiosidade sobre temas que, normalmente e fora de contexto, não chamariam a atenção. No entanto, o próprio fato de um livro ter como tema a divulgação científica traz em si mesmo o problema de conter maneirismos, simplificações e exacerbações inconsequentes, naturais em qualquer leitura através da qual o autor pretende cativar seu leitor apresentando um assunto cujo público em geral desconhece. Em especial, os livros de divulgação matemática romantizam a dita cuja a tal ponto que, ao final da leitura, somos levados a vê-la como Neo vê a Matrix depois de descobrir que é o escolhido após o beijo ressucitador de Trinity, em que ele pára as balas dos agentes com as mãos e depois desce a porrada nos infelizes

A visão de Neo da Matrix, após a revelação de Trinity.

Ou seja, para o autor do texto de divulgação, tudo são números e a matemática é a arquiteta desse embaralhamento responsável por contectar a realidade com o abstrato. A visão é justificável: a matemática tem, dentro de suas letras e números, uma beleza e essa beleza poderia refletir a harmonia das coisas do nosso mundo; mas isso não quer dizer que seja necessariamente assim. É possível, entretanto, ver que a matemática está de fato em certas coisas do nosso dia-a-dia, como na batata Pringles, por exemplo:

$z=x^2+y^2$, vulgarmente conhecido como Batata Pringles

Ora, o leitor deve pensar que eu sou louco, mas na verdade não sou. Quem já comeu um delicioso e salgado $z=x^2+y^2$ sabe a sensação, principalmente com uma Coca ou cerveja gelada! Não há coisa melhor. Vou provar que de fato esse alimento é matemática pura. Vamos lá:

Relembre do Cálculo a seguinte ideia. Se $f(x,y)$ é uma função de duas variáveis, existe duas maneiras de visualizá-la. A primeira é no espaço tridimensional, rebatendo o valor de $f(x,y)$ no eixo z. Formalmente, $z=f(x,y)$ e temos um gráfico. A segunda opção é analisar o comportamento da função através de suas curvas de nível, assim, o que se faz é fixar um valor que a função pode assumir, $k$ por exemplo, e desenhar o resultado $f(x,y)=k$. Note que dessa vez o gráfico é bidimensional, pois ao fixar um valor para a função trabalhamos só com dois parâmetros $(x,y)$ e não $(x,y,f(x,y))$. Neste caso, as curvas de nível são vistas como fatias paralelas ao plano xy do gráfico de três variáveis. Por exemplo, a função $f(x,y)=x^2+y^2$ é um parabolóide. As fatias, $f(x,y)=k$, paralelas ao plano xy são círculos de raio $\sqrt{k}$.

Veja que eu fiz um desenho do paraboloide e de sua "sombra". Com a primeira linha eu guardei na variável a o desenho do parabolóide com o comando ContourPlot3D, na segunda linha desenhei parametricamente o que seriam as curvas de nível do parabolóide através do ParametricPlot3D (usando z=0) e fiz a composição das duas imagens com o comando Show.

Na imagem acima, aquilo que está como sombra do parabolóide são várias curvas de nível de $f(x,y)=k$, uma para cada valor de $k$, que no caso da figura escolhi variar de 0 até 1 (tanto {z,0,1} na linha a como {r,0,1} na linha b).

Essas são de fato as curvas de nível que citei acima. Veja que quanto mais escuro, menor é o valor que f(x,y) assume, ou seja, menor é o k e estamos fatiando paralelamente o parabolóide mais perto do plano xy. É como você estivesse olhando o parabolóide de cima para a baixo com a cabeça dentro dele.

Bem, agora que você já deve ter relembrado, a mesma ideia vale para mais dimensões. Se você tem uma função de três variáveis, $f(x,y,z)$, o seu gráfico é quadridimensional pois, analogamente, você dá $(x,y,z)$, calcula $f(x,y,z)$ e rebate $f(x,y,z)$ num quarto eixo $w$. Como é impossível enxergar isso, pois não temos quatro olhos (!), nossa saída é apelar para as curvas de nível de f, pois essas sim podem ser vistas, já que são tridimensionais, nesse caso. (Repare que de modo geral, uma função de n variáveis tem seu gráfico com dimensão (n+1) e curva de nível n-dimensional).

Legal. Vou mostrar então, voltando ao assunto principal do post, como desenhar a Batata Pringles no Mathematica. Para isso vamos utilizar a função $f(x,y,z)=z-x^2-y^2$ e assumir que a Batata Pringles é na verdade a curva de nível de $f$ quando $f(x,y,z)=0$ só para ficar mais chique! Eu poderia desenhar ela como um gráfico de uma função de duas variáveis, mas por questão de comodidade vou mostrar de outra maneira para explorar o comando ContourPlot3D do software.

Primeiro, desenhamos sem qualquer preocupação a curva de nível da função.

Veja que o comando ContourPlot3D exige que determinemos o domínio sobre o qual a função será desenhada. Nos dois casos escolhi entre -1 e 1 para as três variáveis. Outro ponto importante é que o Mathemática entende o = como ==. No segundo gráfico, adicionei certos comandos que "limpam" o desenho. Mesh->None retira o desenho da malha do primeiro gráfico, deixando um aspecto mais liso. Já o comando Boxed->False retira a caixa do desenho e Axes->False os eixos. Embora sem as caixas e eixos perdemos a referência, o desenho fica mais limpo. É o que queremos nesse caso.

Repare que a função desenhada ainda não está com cara de Pringles. Isso se deve à curvatura acentuada e dessas pontas. Quanto ao primeiro problema, vamos ter que mexer na cara da função. Quanto ao segundo, vamos ter que acertar o domínio. Neste caso, é como se desenhassemos numa folha de papel um desenho com aspecto circular e estivessemos só interessado no que está desenhado no centro da folha. Se com uma tesoura, cortamos a região no formato de um quadrado, vamos acabar com pontas, estragando de certa forma tal aspecto circular.

Para resolver ambas as questões, vamos ter que escolher um domínio (isto é, o formato da região em que vamos estudar a função) sobre o qual a função, quando for desenhada, adquira a "cara" da batata Pringles. Para isso, um chute inicial seria um domínio com formato de elipse:

Novamente utilizei o comando ContourPlot (mas dessa vez para desenhar no plano, e não no 3D como no ContourPlot3D) para visualizar o que seria um chute para o domínio da Pringles. Eu poderia ter desenhado a mesma coisa com o comando Plot ou através do ParametricPlot. O resultado seria o mesmo, mas os meios utilizados seriam diferentes. Um esclarecimento: O AspectRatio é um comando que coordena a razão entre altura e largura da imagem. Neste caso, eu coloque 4/2 que é a razão real Altura/Largura do desenho (isso eu vejo pelo domínio). O mathematica decide, automaticamente se você não especificar, qual o AspectRatio dos gráficos para que o desenho "caiba na tela" ou que mantenha a razão de aspecto próxima de 1/fi (o número de ouro). Isso quer dizer que muitas vezes o desenho vai sair distorcido (uma elipse sai redonda, se você não especificar, por exemplo). Qualquer dúvida perguntem-me.

Veja que a elipse com semi-eixo maior igual a 2 não representa bem o formato da Batata, cujo formato oval é menos acentuado que este. Como ajustar? Mudar o tamanho dos semi-eixos não seria uma boa, pois no fim a estrutura oval quase sempre fica acentuada. É preciso de "menos pontas" para o desenho ficar próximo ao da Pringles. Para isso, olhe para a figura acima e imagine comigo: coloque-se no ponto x=0 e y=2, no bico de cima da curva. O ideal seria que, andando sobre a cuva para a direita, a queda fosse menos brusca. Em termos de equação, para que a queda seja mais suave o valor que y deve assumir quando x é pequeno deve ser maior do que o atual. Assim, com um pouco de quebra-cabeça e brincadeira com a função, devemos elevar alguma potência da equação da elipse a um número par maior do que 2. Neste primeiro caso, tentamos 4:

Neste caso tive que mudar o domínio (x de -2 a 2 e y de -3 a 3) mas mantive a razão de aspecto real de acordo com o domínio, 6/4.

Repare que ao invés de $(\frac{y}{2})^2$, utilizar $(\frac{y}{2})^4$ realmente gerou o resultado que esperávamos, de suavizar as bordas acentuadas da elipse anterior. Mesmo assim, as batatas Pringles não são tão "gordas" como neste formato, o que fazer então? Desta vez não vou mudar na equação, mas vou explorar o AspectRatio. Como ele é a razão da Altura/Largura, se eu quero diminuir a largura, basta aumentar a razão de aspecto. Assim, se 6/4 = 1.5, testei o mesmo gráfico com 1.7:

Legal! É exatamente esse o formato que eu procurava. Só que ainda tenhoum problema. Quando eu utilizar a função da "elipse" no domínio, $x^2 + (\frac{y}{2})^4 =3$, para desenhar a batata em 3D, o Mathematica vai automaticamente colocar, como padrão, AspectRatio = 1, ou seja, vai destorcer o desenho.  Assim, para "burlar" o programa basta multiplicar a coordenada x por 1.7:

Agora estou pronto para dar vida a nossa Pringles. Primeiro, retomamos a primeira tentativa de desenho da batata mas agora colocamos o comando RegionFunction->Function[{x,y}, $0\leq (1,7)x^2 + (\frac{y}{2})^4 \leq 3$] que especifica o nosso domínio. Foi para isso que fizemos todo esse trabalho acima.

Usei o mesmo comando do primeiro desenho, mas tive que mudar o domínio para a "elipse" delimitar a região corretamente. Isto é, eu tive que usar tanto para x como para y o mesmo domínio que utilizei no último desenho da elipse. Depois escolhi o domínio de z para o desenho ficar certinho, sem cortes.

Isto definitivamente não tem o formato de nossa batata. Qual o problema então? Já ajustamos o domínio e sua região. Resta-nos brincar com a própria função $z=x^2-y^2$. Quando eu digo brincar, a ideia é mudar os valores dos coeficientes que acompanham as variáves, aumentar os expoentes, até que se chegue a um resultado satisfatório. Embora pareça um chutômetro, com o tempo e prática é possível intuir sobre algumas mudanças de forma exata e sem titubeações. Os coeficientes que encontrei foram 2 para x e 0.3 para y, de modo que o desenho da função ficou:

Agora sim! Era esse o formato que eu queria!!

Bem amigos, vou ficar por aqui, acho que já é o bastante para esse post.

No parte 2, vamos ver como inserir texturas no Mathematica e fazer com que o desenho fique definitivamente parecido com uma batata. A prévia do resultado final:

Olá, sou uma Pringles digital e não o bico de algum dos superpatos!

Abraços!!

2012

Em todas as passagens de ano, assim que os fogos começam a subir, relembro dos acontecimentos do ano anterior e estabeleço, em linhas gerais, o que quero fazer no seguinte, que acaba de chegar. Mas nunca consigo terminar (pelo menos durante a virada) porque quando os fogos estouram, vemos primeiro as luzes e depois ouvimos o som - e ai eu já penso em física e meu planejamento fica em segundo plano, hahahaha.

Esse ja é um fato óbvio para nós, afinal, sabemos todos que a velocidade da luz no vácuo é da ordem de 3x10^8 m/s e que a velocidade do som no ar é algo em torno de 340 m/s (a luz viaja aproximadamente um milhão de vezes mais rápido que o som no ar). Portanto, o piscar dos fogos de artifício é visto quase que instantaneamente, mesmo se você estiver a quilômetros de distância do local de emissão. Por outro lado, o som "que acompanha" o piscar dos fogos chega tanto mais  atrasado aos seus ouvidos quanto maior for a separação entre você e a fonte da explosão dos fogos, e às vezes até nem chega a ser ouvido, dependendo da ordem de magnitude dessa distância.

Embora o papo seja sobre física elementar, é interessante notar que o homem não nasceu sabendo da diferença entre velocidade do som e da luz - talvez por muito tempo acreditou serem iguais até perceber que esse mesmo fenômeno moderno dos fogos de artifício ocorre com raios e trovões. É provável que nos séculos XV e XVI uma investigação mais profunda tenha começado sobre esse assunto, porém os cientistas só conseguiram determinar a velocidade do som e da luz com precisão razoável no século XIX.

Há também outras ocasiões que me despertam para pensar em física - o metrô é uma delas, por exemplo. É bem manjado falar de metrô quando estudamos sobre movimento relativo, conservação da quantidade de movimento, fenômenos da dinâmica em geral, mas é muito mais interessante pensar nesses assuntos durante uma viagem dentro do vagão. Na hora que o metrô em que estamos inicia seu movimento, podemos nos iludir e pensar que o vagão que está em movimento é, de fato, um outro vagão parado que vemos pela janela, não o que estamos. Por frações de segundo a sensação é totalmente verossímil e compatível com a ideia básica da dinâmica - os movimentos dependem de um referencial. Durante a viagem, soltar as mãos e ser surpreendido por uma frenagem quase sempre resulta em pessoas arremessadas, xingamentos e reclamações. Mas nós, que somos meio malucos e pensamos em física dentro do metrô, agradecemos a ocasião pois verificamos a inércia, o atrito e o torque (sem o atrito, permaneceríamos indo para frente; ele puxando nossos pés, somado com o a inércia, cria um torque que tende a nos levar para o chão). Então na próxima freada conseguimos contrabalancear esse efeito jogando o corpo para trás - o que faz com que o torque gerado pela força peso seja igual ao torque gerado no momento da frenagem, mas em sentido contrário - daí não sofremos o arremessão. Enfim, não se pode negar que o metrô é um prato cheio para os doidos de plantão, e não por acaso Einstein utilizou-os para demonstrar mentalmente algumas experiências da sua relatividade restrita.

Brincadeiras à parte, acredito ser essencial, para o ser humano, possuír esse espírito de investigação, de observação. Questionar e pesquisar são ferramentas importantes - não só para desvendarmos esses pequenos fatos do cotidiano sobre a ótica da ciência e satisfazer nossas curiosidades pessoais, mas também para não cometermos enganos, não sermos "passado para trás". Infelizmente essas ações estão perdendo seu valor num mundo que caminha para a desgraça: Nunca antes, na história da humanidade, se esteve tão cheio de tecnologias e conhecimentos acumulados, que podem servir de forma útil para qualquer um, em qualquer situação e em qualquer lugar do globo; mas nunca se aceitou tantas besteiras como as que lemos, vemos e ouvimos todos os dias, de forma avassaladoramente passiva, como se aceita atualmente.

Portanto, eu desejo que em 2012 a humanidade se desperte do sono dogmático da ignorância que a assola há tempos!

Um grande abraço para todos os amigos e leitores do blog.

Preguiça cósmica

Às vezes, nós, estudantes, ficamos frustrados quando aprendemos algum conceito em física muito dependente das "condições ideais". O gás ideal parece ser uma farsa, conspiração dos livros. A energia, tão bonita no papel, fica feia na prática - nada dela se conserva, há perdas por todos os lados. Então chega uma hora em que o que temos vontade é de amaldiçoar todo aquele povo que formulou as teorias. Galileu, Newton, Pascal, Lagrange...

Brincadeiras à parte, existe um principio em física, pouco ou quase nada visto pelo pessoal da engenharia (infelizmente), chamado princípio da ação mínima. Eu não vou entrar em muitos detalhes, até porque não estudei isso direito, mas "existe" uma grandeza chamada ação - a unidade de ação é J.s, que vem de energia vezes tempo - e os corpos, quando vão de um estado para outro o fazem pelo caminho que minimiza a ação.  Naturalmente esse princípio generaliza as leis de Newton, mas isso é assunto um pouco mais complicado. Bom, o princípio da ação mínima justifica o motivo da luz percorrer geodesias no espaço curvo. A famosa curva que a luz de uma estrela fez contornando o sol no eclipse de 1919, que levou Einstein aos holofotes, é resultado desse princípio, ou seja, existe uma preguiça cósmica natural que faz as coisas fazerem as coisas do jeito mais fácil, entendeu?

Então para o leitor que também fica indignado com o mar de teorias sem aplicação, o princípio da ação mínima é um prato cheio - esse fenômeno está em todo lugar e não precisamos pensar nas condições ideais. Até mesmo nos seres humanos isso se manifesta com clareza. Pergunte para qualquer pessoa se ela gostaria de ganhar dinheiro sem trabalhar - todas responderiam que sim, lógico, pois o princípio da ação mínima diz que as coisas querem sempre fazer as coisas do jeito mais fácil. O caminho mais fácil para que os políticos se perpetuem no poder é fazendo o circo que fazem. A física explica!

A proxima vez que você for acordado de manhã cedo pelo seu despertador, tiver que ir para a faculdade/trabalho para enfrentar um dia pesado, lembre-se, a física está do seu lado para te atazanar e te querer fazer largar tudo, afinal, para que ralar se sempre existe um jeito mais fácil de se chegar no ponto final?

Nossa preguiça tem origens mais profundas do que imaginamos.

Humor

Do site http://brownsharpie.courtneygibbons.org/.