O que é transformação linear?

Vamos iniciar a série sobre transformações lineares respondendo exatamente a pergunta "O que é uma transformação linear?"

Não pretendo seguir uma formalidade e nem mesmo gastar muito tempo revisando o texto. Eu diria que 50% do que escrevo vem da cabeça, de coisas que eu já estudei, e nos outros 50% sigo o livro do Hoffman de Álgebra Linear. Então se houver algum erro corrijam-me por favor.

Se você procurar nos livros a definição, é provável que encontre algo mais ou menos nessa linha como no livro do Hoffman:

Seja $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre o corpo $F$. Uma transformação linear de $V$ em $W$ é uma função $T$ que leva vetores de $V$ em $W$ de tal forma que:

$T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$ e $T(av_1)=aT(v_1)$

para todo $v_1$ e $v_2$ em $V$ e todo $a \in F$.

Talvez seja essa a definição mais genérica possível, pois nem mesmo o corpo é explicitado. Em geral, o corpo dos números reais é o mais comumente utilizado, enquanto que na física, física matemática e certas aplicações de engenharia pode-se utilizar os corpo dos números complexos. Para saber mais sobre o que é um corpo, veja http://pt.wikipedia.org/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica).

Mas como traduzir essa formalidade para o terreno humano?

Veja então que uma transformação linear é necessariamente uma regra, isto é, uma função, que obedece as condições supracitadas, não necessariamente separadas. Pode-se ter da mesma forma uma transformação linear com a seguinte cara: $T(v_1+ a v_2) = T(v_1) + a T(v_2)$.

O fato da definição ser genérica pode dificultar nosso entendimento, mas vamos recorrer a alguns exemplos algébricos:

Seja $V$ e $W$ qualquer espaço vetorial. A transformação linear que leva um vetor nele mesmo é chamada transformação identidade e tem a seguinte forma: $Iv=v$ (a notação muitas vezes depende do autor, alguns usam parênteses, outros não... eu costumo utilizar quando quero dar alguma ênfase).

Há também a transformação nula, isto é, $0v=0$. Para verificar que são transformações lineares, basta verificar que:

1. $I(v_1+v_2) = I(v_1)+I(v_2) = v_1 + v_2$, pois $I(v_1)=v_1$ e $I(v_2)=v_2$ por definição da transformação identidade. De mesmo modo, $I(av_1) = a I(v_1) = a v_1$.
2. $0(v_1+v_2)=0(v_1)+0(v_2)=0+0=0$. De mesmo modo $0(a v_1)=a 0(v_1)= a 0=0$.

Repare também que pela definição qualquer transformação linear do elemento neutro 0 resulta necessariamente no próprio elemento neutro, ou seja: $T(0) = 0$, pois $T(0) = T(0+0) = T(0) + T(0)$. Se $T(0)=T(0)+T(0)$, ao subtrair $T(0)$ dos dois lados chega-se em $T(0)=0$.

Devido a essa última propriedade, que pode ser enunciada como "qualquer transformação linear leva necessariamente o zero ao zero", pode haver uma certa confusão entre as transformações lineares e as funções lineares. As funções lineares podem ser vistas como retas no plano, mas as únicas funções lineares (retas no plano) que são também transformações lineares (no sentido que estamos justamente explicando) são aquelas que passam pela origem, pois toda transformação linear deve obedecer $T(0)=0$.

Para entender melhor, imagine duas funções $f(x)=2x$ e $g(x)=2x+3$. De fato, para uma escolha genérica de $x_1$ e $x_2$ :

Da definição da função $f(x_1+x_2)=2(x_1+x_2)$, mas pela propriedade da transformação linear $f(x_1+x_2) = f(x_1) + f(x_2) = 2 x_1 + 2 x_2 = 2(x_1+x_2)$. Logo, $f(x)$ é, além de função linear, uma transformação linear, pois $f(0)=0$.

Agora repare que $g(x_1+x_2)=2(x_1+x_2)+3$, mas $g(x_1) + g(x_2) = 2x_1 + 2x_2 + 6 \neq g(x_1+x_2)$, logo, $g(x)$ não é transformação linear, embora seja uma função linear.

Saindo um pouco da álgebra, é interessante pensar nas transformações lineares em termos geométricos. Sugiro ao leitor que consulte algum livro de álgebra linear para verificar as transformações lineares no plano: contração, dilatação, rotação, reflexão, cisalhamento horizontal, cisalhamento vertical, etc... Na figura de uma manipulação que programei no Mathematica, seguem alguns exemplos. O quadro da esquerda é o vetor original, o quadro da direita o vetor transformado:

 
Este foi o primeiro post da série de álgebra linear. Fique ligado nos próximos. Se houver qualquer dúvida, envie um comentário.

Abraços

Transformações Lineares de forma qualitativa

Boa noite pessoal,

Há tempos que não escrevo no blog e isto se deve, é claro, ao grande número de tarefas que surgem no fim do semestre acadêmico e outras vicissitudes cotidianas. Não abandonei este espaço - pelo contrário. Tenho na cabeça muitos assuntos (não só de matemática) ainda para escrever, mesmo que devagar. 

Quanto a monitoria, faltaram posts sobre alguns tópicos de álgebra linear, como transformações lineares junto com diagonalização e cônicas. Acredito que esse assunto foi o menos compreendido pelos calouros, uma vez que essa matéria é sempre dada correndo, no fim do semestre, quando se acumulam outros trabalhos de outras disciplinas.

Para entender as transformações lineares, é preciso ter em mente o conceito de função. Uma transformação linear é uma função que atua em vetores e devolve outros vetores. Por ser definida dessa maneira, uma transformação linear não pode depender de base alguma do espaço, no sentido de que a imagem de um vetor sobre uma transformação deve ser a mesma, esteja esse vetor escrito em qualquer base do espaço.

Ora, tome por exemplo a transformação linear, no plano, de rotação anti-horária de 90 graus. Em termos de função, essa transformação linear é uma função que pega o vetor v e devolve o vetor v' que é v rodado de 90 graus. Se o espaço vetorial em questão é descrito pela base A, então o vetor v, na base A, vai se transformar num vetor v', também em A, rodado de 90 graus. Se o vetor v estivesse escrito numa base B e sofresse a transformação, o vetor resultante também seria v', embora suas coordenadas seriam diferentes pois a base B é diferente de A.

Filosofemos sobre o que acabei de dizer: se uma transformação linear tem uma aplicação intrínsica e determinada (girar noventa graus, por exemplo), então basta sabermos como ela atua em uma base qualquer do espaço para saber como ela atua em qualquer vetor do espaço. Nessa afirmação, as duas palavras grifadas não tem o mesmo significado. Perceba que no primeiro caso deve-se eleger uma base - qualquer conjunto de n vetores LI (sendo n a dimensão do espaço). No segundo caso, tendo sido determinada a transformação nessa base elegida e arbitrária, então conhece-se como os infinitos vetores do espaço vetorial mudam quando uma transformação é neles aplicada. Isso ocorre porque se a transformação linear é conhecida na base A, então basta escrever qualquer vetor do espaço em relação a base A.

É possível também se chegar numa maneira de aplicar a transformação em v, na base A, e obter como resposta v' na base B, caso seja conveniente.

A grande dificuldade é se despreender da visão cartesiana. Estamos acostumados a ela, mas há certos casos em que a base canônica não é a mais conveniente para se trabalhar. É ai que entra a tal da diagonalização de operadores e sua aplicação nas cônicas. Na equação das cônicas o termo misto é devido a uma rotação dos eixos normais da curva, de modo que a base de autovetores é a base em que a cônica fica escrita na forma simplificada sem o termo misto.

Talvez a dificuldade maior em tudo isso seja compreender a arbitrariedade presente na teoria de vetores e na álgebra linear como um todo. E isso se adquire com estudo, dedicação e tempo!

Mudando de assunto, neste segundo semestre serei monitor de Física III, que lida com eletrostática e eletromagnetismo clássicos. Portanto, posts sobre física serão mais recorrentes e, assim como fiz em álgebra linear, criarei um espaço dedicado somente aos assuntos da disciplina.

Gostei muito dessa matéria pois aprendi muito. Ver-se-á que o cálculo vetorial é muito bem aplicado nessa teoria, e os teoremas de Gauss e Stokes serão melhores compreendidos nas situações do eletromagnetismo do que foram em Cálculo 2. Embora a teoria eletromagnética clássica tenha sido de certa forma superada (esse não é o termo correto) com o advento da relatividade, da eletrodinâmica quântica, o curso serve como uma boa porta de entrada para a física matemática, física moderna, e também para a ciência contemporânea como um todo, além de ser um bom repositório prático para as situações do dia-a-dia em que lidamos com tomadas, lâmpadas, etc.

Esta será minha quarta monitoria na faculdade, a terceira voluntária. Espero que seja tão frutífera quanto foram as outras, tanto para os alunos quanto para mim.  Falando de outros números, o blog atingiu mais de três mil visitas, em mais de um ano e meio de idade e com 46 posts. Considero um sucesso! Obrigado aos visitantes.

E viva as ferias!

Mudança de Base

Ultimamente a correria não me deixa ter tempo de sentar e teclar um post grande e elaborado, mesmo tendo várias ideias para escrever - com algumas delas já escritas no papel.

Esse post vai precisar da boa vontade do leitor. Vou escrevê-lo sem muito cuidado, ainda mais porque vi que o suporte do LaTeX foi para o saco, e portanto não consigo escrever mais equações, assim, o papo será mais qualitativo do que os anteriores.

O que quero falar é sobre mudança de base, e para começarmos é preciso lembrar de algumas coisas:

Primeiro, é preciso lembrar que sempre ao trabalhar com vetores implicitamente assumimos que exista um espaço vetorial, dentro do qual os vetores estão definidos. Mas como os vetores estão definidos nesse espaço vetorial? Bem, para isso basta pegar um conjunto arbitrário de vetores e "fazer" todas as combinações lineares possíveis entre esses vetores. O fazer vai em aspas porque não fazemos de fato todas as combinações. Mas sabemos que, tomando um conjunto A de vetores, podemos fazê-lo corresponder a um outro conjunto B (infinito) de vetores cujos elementos são todas as combinações lineares possíveis dos elementos de A. Dessa forma B torna-se um espaço vetorial, e o conjunto A é chamado conjunto de geradores de B.

Agora repare que não impomos nenhuma condição sobre o tamanho do conjunto A, isto é, do conjunto gerador. Essa arbitrariedade permite que tentemos determinar o espaço vetorial B com o menor numero de elementos possíveis. Isso dá origem ao que chamamos de base. Assim, a base de um espaço vetorial fica definida como o menor conjunto gerador desse espaço vetorial (Essa definição parece lógica circular, mas não é!!).

Avançando um pouco, pode-se provar que a base de um espaço vetorial não é única e que qualquer base de um espaço vetorial tem a mesma quantidade de elementos (Repare que é natural isto acontecer). Esses teoremas dão origem ao que queremos chegar: mudança de base.

Então seja V um espaço vetorial tridimensional (por convenção) e x e w duas bases desse espaço. Se na base x um vetor v tem coordenadas (a,b,c) e na base w, v = (a',b',c'), como descobrir a relação entre a e a', b e b', c e c'? 

Essencialmente, esse é o problema de mudança de base - como expressar as coordenadas de v na base w sendo que você só conhece suas coordenadas na base x?

Para atacar esse problema, é preciso prosseguir da seguinte maneira:

• Suponha que v = a x1 + b x2 + c x3 (na base x) e v = a' w1 + b' w2 + c' w3 (na base w).
•  
• Como os vetores da base x e w pertencem ao mesmo espaço vetorial V, então é possível escrever tanto os vetores de x como combinação linear dos vetores de w e vice-versa - esse é o ponto principal para resolver esse problema!
•  
• Se você escrever essa combinação linear (por exemplo x1 = k11 w1 + k12 w2 + k13 w3, x2 = k21 w1 + k22 w2 + k23 w3, x3 = k31 w1 + k32 w2 + k33 w3) e resolvê-la para k_ij, chega-se numa matriz M dos coeficientes k.
•  
• Reserve essa matriz. Agora se você trocar o x1, x2, x3 na expressão de v = a x1 + b x2 + c x3 por x1 = k11 w1 + k12 w2 + k13 w3 ... (e assim por diante), e agrupar os termos em w1, w2 e w3, poderá fazer uma relação com v na base w, e assim determinar a relação de entre os coeficientes a e a', b e b', c e c'. Essa relação acaba sendo, no fim, a matriz transposta da relação entre as bases, M^t.

Basicamente, essa é a maneira como chegamos na matriz de mudança de base. Pode parecer meio complicado numa leitura, mas se o leitor estiver acompanhando com lápis e papel em mãos e acompanhando os passos com cuidado, é possível chegar nos resultados que tentei transcrever nessas palavras).

Então a P é a matriz de mudança de base de x para w, então P^(-1) é a matriz de mudança de base de w para x (não podia ser diferente).

Bem, depois é legal relacionar a mudança de base como uma transformação linear - fica mais interessante. Talvez num próximo post.

Abraços!

Posição Relativa - Retas e Planos

Fiquei um tempo sem postar devido ao retorno às aulas no fim do mês passado, que tomou-me tempo para colocar as coisas em dia. Mas sem mais delongas, hoje vamos falar de um assunto muito interessante, que é a posição relativa entre retas, retas e planos, e planos. 

Esse tópico é passado um tanto quanto rápido nas aulas e não deveria ser assim, pois nele o apelo geométrico aliado ao poder da representação vetorial são notórios e ajudam o estudante a compreender os vetores no espaço e suas relações, sem falar que é um assunto que representa, de fato, o nome da disciplina. O raciocínio e manejos necessários para entendê-lo, quando dominados, demonstram que o estudante compreendeu a teoria com solidez.

Nesse sentido vou tentar mostrar como a visão geométrica e os conceitos da álgebra vetorial nos dão sustentação para resolver os exercícios mais comuns nesse tipo de assunto, sem que precisemos decorar fórmulas. No que segue, vou utilizar os conhecimentos padrões e o fato de que o produto misto entre três vetores é nulo se e somente se os três vetores forem coplanares (I).

Posição relativa entre retas: Lembremos que a reta, na sua representação vetorial ou paramétrica, é escrita da seguinte forma $r:\,X=P_0+t\vec{v}$. No espaço $\mathbb{R}^3$, essa equação se desdobra em três: $(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\{v_x,v_y,v_z\}$, uma para cada coordenada. O ponto $P_0$ é um ponto qualquer, e $\vec{v}$ é o vetor diretor da reta.

Então consideremos duas retas no $\mathbb{R}^3$, $r_1$ e $r_2$, com vetores diretores $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$. Há três casos a se considerar:

1. $r_1$ e $r_2$ são paralelas (podem ou não ser coincidentes).
2. $r_1$ e $r_2$ são concorrentes.
3. $r_1$ e $r_2$ são reversas.

Vejamos qual a implicação, em termos vetoriais, de cada caso:

1. Se $r_1$ e $r_2$ são paralelas então há três fatos a se considerar:
• Os vetores diretores $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ também são paralelos. Isso implica que $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ são proporcionais, isto é, existe algum escalar $k\in\mathbb{R}$ tal que $\vec{v}_1=k\cdot\vec{v}_2$ (lembre-se que os vetores são livres, e por isso a proporcionalidade não requer colinearidade). 
• Além disso, por serem paralelas, as retas $r_1$ e $r_2$ estão contidas num mesmo plano $\pi$, de modo que se tomarmos o segmento $\overline{P_2P_1}$, sendo $P_1\in r_1$ e $P_2\in r_2$, ele deve estar em $\pi$ assim como estão $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ . A condição que expressa coplanaridade entre vetores é (I), ou seja $(\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\cdot\overline{P_1P_2}=0$. Repare na cadeia lógica de fatos: o produto misto é dado pelo determinante da matriz composta pelos vetores diretores da reta e um vetor fabricado que mora entre essas retas paralelas. Como os vetores diretores das retas são paralelos, isso implica que um é múltiplo do outro, o que implica numa linha ser múltipla da outra na matriz do produto misto, que implica no determinante ser zero. 
• As retas podem ou não ser coincidentes. Deixo para o leitor verificar quais são as condições que asseguram a coincidência das retas.
2. Se $r_1$ e $r_2$ são concorrentes, então há três fatos a se considerar:
• Os vetores diretores $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ não são paralelos e portanto não proporcionais, de modo que é impossível encontrar $k\in\mathbb{R}$ que verifique $\vec{v}_1=k\cdot\vec{v}_2$.
• A intersecção $r_1 \cap r_2 = \{P\}$ é um ponto que pode ser determinado igualando-se as coordenadas das duas retas e resolvendo o sistema resultante.
• Se tomarmos, assim como no caso anterior, um segmento que liga as duas retas, $\overline{P_2P_1}$, sendo $P_1\in r_1$ e $P_2\in r_2$, ele também estará contido num plano suporte (que contém) de $r_1$ e $r_2$. Por consequência, o produto misto $(\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\cdot\overline{P_1P_2}$ também se anula. Novamente, verifique que uma das linhas da matriz do produto misto é combinação linear das outras, o que implica na nulidade do determinante e do produto misto.
3. Se você verificou que as condições 1 e 2 não se aplicam ao caso que você estuda, então por exclusão as retas são reversas. Logicamente, o argumento é válido. Na prática, é pouco utilizado, uma vez que existem métodos, como os anteriores, para determinar essa característica entre duas retas. Então se $r_1$ e $r_2$ são reversas:
• Os vetores diretores $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ não são paralelos e portanto não proporcionais, de modo que é impossível encontrar $k\in\mathbb{R}$ que verifique $\vec{v}_1=k\cdot\vec{v}_2$.
•  A intersecção $r_1 \cap r_2 = \{O\}$. Além disso, as próprias retas estão contidas em planos diferentes.
• Neste caso, ao fabricarmos um segmento $\overline{P_2P_1}$, sendo $P_1\in r_1$ e $P_2\in r_2$, não haverá coplanaridade, de modo que o produto misto $(\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\cdot\overline{P_1P_2}\neq0$.

Repare então que as condições são algebricamente elaboradas, mas simples pois há a visualização geométrica do fato estudado:

Retas paralelas, a construção do plano suporte e do segmento entre as duas retas

Retas concorrentes, a construção do plano suporte, o segmento entre as retas e os vetores diretores das retas.

Retas reversas, os planos suportes de cada reta, o segmento entre as retas (que está em outro plano) e os vetores diretores das retas e do segmento. Com um pouco de boa vontade vc verá que o produto misto desses vetores não é nulo.

Posição relativa entre planos: Seja $\pi_1$ e $\pi_2$ dois planos no espaço e $\vec{n}_1$ e $\vec{n}_2$ os vetores normais aos respectivos planos. É possível ocorrer:

1. $\pi_1$ e $\pi_2$ são paralelos (podem ou não ser coincidentes).
2. $\pi_1$ e $\pi_2$ são concorrentes.

 Se o leitor compreendeu a ideia da análise da posição relativa de retas por meio de seus vetores diretores, então determinar a posição relativa de planos torna-se fácil pois basta verificar a relação entre os vetores normais:

1. Se $\vec{n}_1$ e $\vec{n}_2$ forem paralelos os planos também o serão. Se são paralelos, então são proporcionais - assim existe um $k\in\mathbb{R}$ que verifica a relação $\vec{n}_1=k\cdot \vec{n}_2$.
2. Se $\vec{n}_1$ e $\vec{n}_2$ não forem paralelos, então os planos são concorrentes.

Posição relativa entre reta e plano: Com base nos casos anteriores, tente verificar algumas possibilidades por si mesmo. No próximo post discuto essas posições relativas, bem como entro na questão de distância entre pontos, etc.

Abraços!

Álgebra Linear: Matrizes com Mathematica

O ano letivo está para começar e eu preciso escrever sobre os tópicos de álgebra linear e geometria analítica. A promessa de escrever sobre Taylor em duas variáveis vai ficar para as férias do meio do ano, pois assim fica um suplemento pro pessoal de agora que irá fazer cálculo 2 no semestre que vem.

Esse post vai falar um pouco sobre operações elementares em matrizes e alguns teoremas que decorrem dessas operações. Utilizarei conceitos como combinação linear, mas não vou explicá-los no decorrer do assunto. Além disso, concomitante com a teoria, darei exemplos utilizando o software Mathematica. É um bom conselho começar a utilizar esses softwares, pois serão de grande ajuda no futuro.

Bem, continuarei a falar de matrizes, mas dessa vez sem recorrer ao uso de determinantes. A rigor, é possível deduzir grande parte dos resultados de sistem através de operações elementares, matrizes linha equivalentes, etc, sem determinantes, e hoje veremos um pouco sobre isso (estou assumindo que o corpo é dos reais, mas isso não vem ao caso agora) com mais formalidade, mas tentando manter o lado intuitivo do negócio.

Primeiros vamos definir quais são as operações elementares permitidas numa matriz $A$ qualquer, $m\,x\,n$.

1. multiplicação de uma linha por um escalar $c\neq 0$.
2. troca da linha $i$ pela linha $i$  mais $c$ vezes a linha $s$, com  $c\neq 0$ e $i\neq s$.
3. troca de linhas de $A$.

Essas são as regras do jogo. O leitor deve ter visto que o determinante de uma matriz não muda quando realizamos esse tipo de operação. Vamos ver algo um pouco mais interessante do que isso.

Definição: Sejam $A$ e $B$ duas matrizes $m\,x\,n$. Dizemos que $B$ é linha equivalente a $A$ se $B$ pode ser obtida de $A$ por uma sequência finita de operações elementares.

Só para exemplificar, no Mathematica, definimos um vetor como uma lista de números entre chaves. Uma matriz é uma lista de vetores (horizontais).

In[número] quer dizer que essa linha foi nossa entrada de número x. No caso, linha1,2,3 são os nomes que eu escolhi e referem-se às linhas da matriz que foi definida como sendo uma lista de listas logo abaixo, em matriz:={linha1,linha2,linha3}. Quem está acostumado com programação entende que eu defini minhas variáveis (as linhas das matrizes) e as chamei em outro comando. O mathematica se encarrega de trocar, sempre que ver linha1, por {2,6,5}, e assim por diante.

Bem, fazendo uma operação elementar:

Eu chego na nova matriz

Cuja linha 1 foi dividida por 2. Essa matriz é linha equivalente a matriz inicial, por nossa definição.

Existe um teorema que diz que se $A$ e $B$ são linha equivalentes, então os sistemas lineares homogêneos $Ax=0$ e $Bx=0$ possuem a mesma solução. A prova desse teorema não é tão complicada, basta estudar alguns casos simples. Por exemplo, todo mundo sabe que num sistema 2x2, somar uma equação à outra não traz nenhuma nova informação para o sistema original, de modo que a solução se mantém. Do mesmo modo, podemos aplicar a operação inversa na matriz (nova) e voltar a original, e isso de novo não muda a solução. Como em geral o número operações elementares para sair de $A$ e chegar a $B$ é arbitrário, basta mostrar que a solução se mantém para uma operação, que estará demonstrado para todas as outras.

A força das operações elementares é que podemos deixar a matriz mais simples, com zeros e uns para simplificar as coisas subsequentes.

Definição: Uma matriz $A$ é chamada linha reduzida se:

• a primeira entrada não-nula de cada linha não-nula é 1.
• cada coluna de A, que contém a primeira entrada não-nula de uma linha, possui todas as outras entradas nulas (ufa!)

Leia com calma as definições e veja um exemplo abaixo

Essa matriz é linha reduzida pois a primeira entrada de cada linha é 1 e os outros elementos das colunas (que começam o 1) são todos nulos.

Um teorema garante que toda matriz é linha equivalente a uma matriz linha reduzida, o que quer dizer que é sempre possível através de um número finito de operações deixar uma matriz na forma linha reduzida.


Definição: Uma matriz $R$ está na forma escada se:

• $R$ é linha reduzida
• toda linha completamente nula ocorre abaixo de uma linha que possuí entradas não-nulas.
• se as linhas $1,2,\ldots,r$ são não-nulas e se as entradas não-nulas de cada linha $i$ ocorrem na coluna $k_i$, com $i=1,2,\ldots,r$, então $k_1<\ldots

As duas primeiras são fáceis de entender, a última requer mais pensamento mas é simples - ela estabelece que as ordem das colunas deve obedecer à ordem das entradas não nulas. Ou seja, a linha que possuí 1 na primeira coluna, deve ser também a primeira linha. A linha que possuí 1 na segunda coluna, deve ser a segunda linha, e assim por diante. Um exemplo de matriz na forma escada é a identidade. Também é a anterior, se trocármos as linhas 2 com 3.

Segue imediatamente que toda matriz é linha equivalente a uma matriz na forma escada. Pois se toda matriz é equivalente a uma matriz linha reduzida, basta mais algumas operações para deixá-la na forma escada.

Teorema: Se $A$ é quadrada $n\,x\,n$, então $A$ é linha equivalente a $I_n$ (identidade de ordem $n\,x\,n$) se e somente se o sistema $Ax=0$ admitir somente a solução trivial.

Prova: se $A$ é linha equivalente a $I$ então $Ax=0$ e $Ix=0$ possuem as mesmas soluções. Como é claro que $Ix=0$ só admite solução trivial, então $Ax=0$ também só admite solução trivial. Para a recíproca, supomos que $Ax=0$ tenha solução trivial. Seja $R$ a matriz escada $n\,x\,n$ linha equivalente a $A$ e $r$ o número de linhas não-nulas de $R$. Como $Rx=0$ deve possuir solução trivial (pois é linha equivalente a $A$), é necessário que $r\geq n$. Mas como $R$ tem $n$ linhas, devemos ter $r\leq n$, de onde segue que $r = n$. Como $R$ é forma escada, e pelas condições impostas, $R = I$.

Esse teorema agrega uma informação importante sobre matrizes que veremos mais a frente.

Definição: Uma matriz é dita elementar se pode ser obtida aplicando-se operações elementares na identidade.

Teorema: Seja $e$ uma operação elementar e $E$ a matriz elementar correspondente a essa operação $(E=e(I))$. Então, para qualquer matriz $A$, temos: $e(A)=EA$

Esse último teorema diz que aplicar operações elementares numa matriz $A$ é a mesma coisa que aplicar a mesma operação na matriz identidade ($e(I)=E$) e multiplicar a matriz resultante elementar com $A$. Quem estiver interessado pode brincar. Pegue uma matriz identidade 2x2, troque suas linhas e multiplique numa outra matriz 2x2. Veja que essa matriz sofrerá a mesma troca de linhas, e isso acontece com qualquer operação elementar feita na identidade. Aliás, duas ou mais operações elementares sucessivas numa matriz  $A$ podem ser feitas separadamente em matrizes identidades, e o produto dessas matrizes com a matriz $A$ gera o mesmo resultado.

Estamos quase no fim do post. Vamos a mais um teorema e um corolário importantíssimo:

Teorema: Se $A$ é quadrada $n\,x\,n$, equivale dizer:

1. $A$ é inversível
2. $A$ é linha equivalente a identidade
3. $A$ é produto de matrizes elementares.

Esse teorema garante o seguinte corolário: Se $A$ é inversível e uma sequência de operações elementares reduzem $A$ a identidade, então a mesma sequência de operações aplicada em $I$ geram $A^{-1}$.

Finalmente, era ai onde queria chegar nesse post de hoje. Essa é a grande força de tudo o que falei até agora - aplicando uma sequência de operações em $A$ que a leve para $I$, a mesma sequência aplicada em $I$ leva a inversa. Isto é: $E_n \ldots E_2 E_1 A = I \iff E_n \ldots E_2E_1 = A^{-1}$.

Vamos ver que na prática isso acontece mesmo. Abra a figura abaixo para verificar os passos que realizei no mathematica. Defini uma matriz 3x3. Em seguida, apliquei diversas operaçõoes elementares para reduzí-la a identidade. Depois, apliquei as mesmas operações na identidade, gerando uma nova matriz e no fim multipliquei essa nova matriz e a original e obtive a identidade, como esperado.

Dúvidas em relação a teoria ou aos passos no mathematica, deixem recados que responderei prontamente.

Abraços!

Sobre sistemas lineares.

Esse post vai falar rapidamente sobre sistemas lineares - sem escrever as matrizes dos sistemas, pois isso cansa pra fazer aqui. A ideia é fazer algo mais qualitativo - espera-se que o leitor tenha um conhecimento básico em matrizes e operações elementares (matriz linha reduzida - escada).

Bem, um sistema linear é uma expressão da forma $Ax=b$, onde $A$ é uma matriz de ordem $m\,x\,n$ conhecida, $x$ é um vetor coluna  $n\,x\,1$ desconhecido (queremos encontrá-lo) e $b$ é o chamado vetor de dados $m\,x\,1$.

Para não haver confusão, dizer que se $A$ é $m\,x\,n$ significa que a matriz tem $m$ linhas e $n$ colunas. Em outras palavras, o sistema $Ax=b$ tem $m$ equações e $n$ incógnitas.

No que se refere a solução deste sistema, consideremos o caso em que $m = n$ e $b\neq 0$ .  Isso quer dizer que $A$ é uma matriz quadrada e que o sistema é não-homogêneo.

No caso de $A$ ter inversa, $A^{-1}$, a solução do sistema $Ax=b$ é obtida multiplicando-se os dois lados pela inversa (respeitando a ordem da multiplicação). Ou seja: $A^{-1}Ax=A^{-1}b \Rightarrow x=A^{-1}b$ pois $A^{-1}A=I$.

Veja que o sistema $Ax=b$ tem solução se e somente se $A$ for inversível, e uma condição para que $A$ seja inversível é que $det A\neq 0$.

Isso nos leva a outra situação. Se $det A=0$ a matriz $A$ não tem inversa - o que nos leva a considerar alguns casos menos diretos que o anterior - quando o sistema pode ou não ter solução.

Quando não há solução: Imagine o sistema formado pelas equações $x + y = 1$ e $2x + 2y = 3$. Notadamente, vemos que o sistema não tem solução pois a segunda equação soma as quantidades x e y em dobro mas o resultado é 3 e não 2, pela primeira equação. Como verificamos esse fato na forma matricial?

Bem, considere duas matrizes $A$ e $A_e$. $A$ é a matriz dos coeficientes, a qual estávamos nos referindo anteriormente, e $A_e$ é a chamada matriz estendida do sistema - essa matriz difere de $A$ pois existe uma coluna a mais, e essa coluna recebe os valores do vetor de dados $b$. Isto é, $A_e = [A|b]$. Se realizarmos operações linha nessas duas matrizes para colocá-las na forma escada, vamos chegar na situação em que a forma escada de $A$ contém uma linha cheia de zeros e a forma escada de $A_e$ não - voltando a pensar no sistema de equações, chegamos num absurdo onde $0x+0y=1$ - Como detectamos esse absurdo operando nas matrizes dos sistemas?

Chamamos de posto de uma matriz o número de linhas não-nulas na sua forma escada. Então o posto de $A$ (na forma escada) é $1$, e o posto de $A_e$ (na forma escada) é $2$. Quando o posto de $A$ é diferente do posto de $A_e$, então o sistema é impossível. Isso é um teorema, demonstrado mais ou menos por essas ideias que comentamos.

Quando há solução: Mudando um pouco o exemplo anterior, o sistema formado por $x + y = 1$ e $2x + 2y = 2$ é "verdadeiro" no sentido da segunda equação ser o dobro da primeira. Isso quer dizer que tomando qualquer par de números (x,y) que satisfaça a primeira equação, a segunda também o será e vice-versa. Pensando em matrizes, quando o posto de $A$ for igual ao posto de $A_e$, (ambas em sua forma escada),  o sistema $Ax=b$ admite infinitas soluções. (verifique!)

Vimos até agora rapidamente que as soluções de um sistema linear dependem da matriz do sistema ter ou não determinante nulo. Agora vamos abordar o caso do sistema $Ax=0$, isto é, com $b=0$ (e $m=n$). Esse sistema é chamado sistema linear homogêneo.

Da mesma maneira, vamos verificar o que acontece com as soluções à partir do determinante:

Se $detA\neq 0$ a coisa não muda - a matriz $A$ tem inversa e a solução do sistema é dada por $x=A^{-1}0 = 0$. Opa. $x = 0$. Essa é a famosa solução trivial. Na prática, é raro querermos as soluções triviais de um sistema.

Mas se $detA=0$, a matriz $A$ não possuí inversa. Assim, devemos analisar o posto de $A$ e o posto de $A_e$ na forma escada para verificar se o sistema possuí ou não solução. Mas não precisamos de fato analisar o posto pelo seguinte motivo:

A expressão $det A=0$ siginifica que uma linha de $A$ é combinação linear das linhas de $A$. Quando aplicarmos as operações elementares para reduzir $A$ para sua forma escada, essa linha, combinação das outras, vai se anular. Como o vetor de dados é também nulo, o posto de $A_e$ não será modificado e teremos posto de $A$ igual ao posto de $A_e$. Logo, o sistema possuirá infinitas soluções.

Em outros ramos da matemática (e muitas vezes da física), quando chegamos num sistema homogêneo buscamos sempre as soluções não triviais. Assim, para haver soluções não trivias impômos ao determinante da matriz do sistema ser nulo, com base nas ideias discutidas acima.

Talvez o leitor se pergunte - por que tanta algebrização, definição, etc etc etc. Bem, a simplicidade de um sistema 2x2 é traiçoeira, de modo que não podemos supor sua existência nos sistemas de ordens maiores. Ao trabalhar com sistemas, 20x20, 50x50, 1000x1000, essa sistematização é inevitável para encontrar soluções, etc.

Talvez eu tenha esquecido de algo, pois escrevi isso bem rápido. Esse tema tem muito pano para a manga, e quando falarmos de espaços vetoriais, subespaços, as coisas ficarão mais interessantes.

Abraços. Parabéns aos alunos que foram aprovados no vestibular (o resultado saiu hoje).

Parametrização de retas

Esse post é continuação para suplemento de geometria analítica. No anterior em suma falamos de vetores, algumas operações básicas e propriedades. Depois insistimos na ideia de vetores como transportadores de pontos.

Eu havia escrito uma outra coisa sobre vetores para colocar aqui, mas não me agradou, então pensei em redigir algumas notas que provavelmente eu gostaria de ter lido quando estudei essa disciplina, há 2 anos atrás. Novamente, deixo de lado o rigor para evocar o lado intuitivo do assunto.

Então nesse sentido de pequenas notas, acho legal esclarecer alguns conceitos que a primeira vista nos parecem dúbios.

1- Estando num sistema de eixos cartesianos, representamos um ponto como uma dupla de números: Por exemplo, o ponto $P=(1,2)$. Cada número da dupla recebe o nome de coordenada do ponto.

2- Um vetor também é representado por uma dupla de números (cada um chamado de componente do vetor), por exemplo $\vec{v}=<-2,1>$. Porém, ele não indica um ponto no plano, mas sim um deslocamento (neste caso em linha reta), sendo que cada componente do vetor indica a variação que ele causa na coordenada correspondente do ponto sobre o qual ele atua.

3- Ou seja, um vetor não tem lugar fixo no plano (isso é muito importante) – no fundo ele transporta, desloca pontos numa determinada direção e na intensidade correspondente às suas coordenadas quando aplicamos ele sobre um ponto. O que vemos na figura acima são os deslocamentos causados pelo vetor $\vec{v}=<-2,1>$ em diferentes pontos do plano. Isto é: O vetor $\vec{v}=<-2,1>$, aplicado ao ponto $(1,2)$ leva-o até o $(-1,3)$.

Reta paramétrica:

Quando queremos determinar uma reta, é necessário e suficiente:

• conhecer dois pontos por onde ela passa

Vou deixar de lado o termo “equação” da reta, pois ele ainda traz a ideia cartesiana do negócio ($y=ax+b$). Ao invés disso, falaremos da descrição vetorial da reta, ou, mais simplificadamente, da parametrização da reta.

A ideia é simples. Imagine um ponto. Imagine uma direção (pense na rosa dos ventos assentada sobre esse ponto). Imagine o ponto deslocando-se numa determinada direção em linha reta e deixando um rastro no chão. Voilá, você obteve uma reta.

Agora como descreveremos isso em termos matemáticos? Há duas maneiras, uma mais intuitiva, menos rigorosa. Outro nem tanto intuitiva (no primeiro momento), mas mais fundamental. Vou descrever a última, enquanto que a primeira deixo para conversar nos atendimentos extra classe.

a) a descrição formal é a seguinte: suponha que tenhamos uma reta $r$, no $\mathbb{R}^3$ que não sabemos a equação, mas sabemos que ela passa pelo ponto $P_0=(a,b,c)$ e é paralela ao vetor $\vec{d}=(d_1,d_2,d_3)$. Seja $P=(x,y,z)$ um ponto qualquer dessa reta. Se $P$ pertence a reta, então o vetor $P-P_0=(x-a,y-b,z-c)$ deve ser paralelo ao vetor $\vec{d}=(d_1,d_2,d_3)$.

A condição para que dois vetores sejam paralelos diz que um deve ser múltiplo do outro. Isto é:

$P-P_0=t \vec{d}$, onde $t$ é o múltiplo escalar $\in\mathbb{R}$. Como o ponto $P$ é arbitrário, chegamos na descrição paramétrica da reta: $P = P_0 + t\vec{d}$. 

Repare que a equação faz sentido e bate com a descrição que dei acima de um ponto sendo deslocado numa direção. Nesse caso, o fator $t$ determina qual a quantidade de incrementos na direção de $d$ o ponto $P_0$ sofrerá.

O vetor $\vec{d}$ é chamado de vetor diretor da reta. É importante notar que não é necessário que o vetor esteja sobre a reta – isso no fundo não faz nem sentido. O vetor tem que dar a direção, e por isso argumentamos no sentido dele ser paralelo à reta.

Veja que a forma $P = P_0 + t\vec{d}$  é muito similar à equação de movimento uniforme da física, $S = S_0 + vt$. Repare que essa equação é escalar, pois o movimento é unidimensional - mas definindo a reta de forma paramétrica, avançamos um passo na descrição de movimentos pois nos livramos da análise numa direção só. Com o tratamento vetorial é possível representar deslocamentos um mais gerais.

Outras observações: É importante ressaltar alguns fatos que às vezes não se comenta na sala de aula. Um deles diz respeito a existência de infinitas parametrizações. Isto é, sempre que for possível parametrizar um segmento qualquer, uma superfície, um objeto, tenha em mente que existem infinitas parametrizações - então não fique frustrado se seu resultado não bateu com o do gabarito.

Uma prova fraca: Para definiar a reta utilizamos um ponto e um vetor diretor. Não dei importância para o tamanho desse vetor, mas sim somente em sua direção. Isso quer dizer que a reta fica bem definida (no sentido da parametrização) tendo um ponto e qualquer vetor que tenha a direção pré-fixada. Como existem infinitos vetores paralelos a um vetor dado, segue que existem infinitas parametrizações de retas.

Bem, acho que isso é tudo de "dicas" que tenho nas mangas. Nos próximo post, falarei dos planos e suas parametrizações.

Ah, também falarei um pouco da importância das parametrizações para representação de superfícies mais gerais, e seu consequente uso no cálculo integral.

E não me esqueci do Taylor em 2 variáveis... hehe.