sábado, 29 de janeiro de 2011

Parametrização de retas


Esse post é continuação para suplemento de geometria analítica. No anterior em suma falamos de vetores, algumas operações básicas e propriedades. Depois insistimos na ideia de vetores como transportadores de pontos.

Eu havia escrito uma outra coisa sobre vetores para colocar aqui, mas não me agradou, então pensei em redigir algumas notas que provavelmente eu gostaria de ter lido quando estudei essa disciplina, há 2 anos atrás. Novamente, deixo de lado o rigor para evocar o lado intuitivo do assunto.

Então nesse sentido de pequenas notas, acho legal esclarecer alguns conceitos que a primeira vista nos parecem dúbios.

1- Estando num sistema de eixos cartesianos, representamos um ponto como uma dupla de números: Por exemplo, o ponto $P=(1,2)$. Cada número da dupla recebe o nome de coordenada do ponto.

2- Um vetor também é representado por uma dupla de números (cada um chamado de componente do vetor), por exemplo $\vec{v}=<-2,1>$. Porém, ele não indica um ponto no plano, mas sim um deslocamento (neste caso em linha reta), sendo que cada componente do vetor indica a variação que ele causa na coordenada correspondente do ponto sobre o qual ele atua.




3- Ou seja, um vetor não tem lugar fixo no plano (isso é muito importante) – no fundo ele transporta, desloca pontos numa determinada direção e na intensidade correspondente às suas coordenadas quando aplicamos ele sobre um ponto. O que vemos na figura acima são os deslocamentos causados pelo vetor $\vec{v}=<-2,1>$ em diferentes pontos do plano. Isto é: O vetor $\vec{v}=<-2,1>$, aplicado ao ponto $(1,2)$ leva-o até o $(-1,3)$.


Reta paramétrica:

Quando queremos determinar uma reta, é necessário e suficiente:

  • conhecer dois pontos por onde ela passa

Vou deixar de lado o termo “equação” da reta, pois ele ainda traz a ideia cartesiana do negócio ($y=ax+b$). Ao invés disso, falaremos da descrição vetorial da reta, ou, mais simplificadamente, da parametrização da reta.

A ideia é simples. Imagine um ponto. Imagine uma direção (pense na rosa dos ventos assentada sobre esse ponto). Imagine o ponto deslocando-se numa determinada direção em linha reta e deixando um rastro no chão. Voilá, você obteve uma reta.

Agora como descreveremos isso em termos matemáticos? Há duas maneiras, uma mais intuitiva, menos rigorosa. Outro nem tanto intuitiva (no primeiro momento), mas mais fundamental. Vou descrever a última, enquanto que a primeira deixo para conversar nos atendimentos extra classe.

a) a descrição formal é a seguinte: suponha que tenhamos uma reta $r$, no $\mathbb{R}^3$ que não sabemos a equação, mas sabemos que ela passa pelo ponto $P_0=(a,b,c)$ e é paralela ao vetor $\vec{d}=(d_1,d_2,d_3)$. Seja $P=(x,y,z)$ um ponto qualquer dessa reta. Se $P$ pertence a reta, então o vetor $P-P_0=(x-a,y-b,z-c)$ deve ser paralelo ao vetor $\vec{d}=(d_1,d_2,d_3)$.

A condição para que dois vetores sejam paralelos diz que um deve ser múltiplo do outro. Isto é:
$P-P_0=t \vec{d}$, onde $t$ é o múltiplo escalar $\in\mathbb{R}$. Como o ponto $P$ é arbitrário, chegamos na descrição paramétrica da reta: $P = P_0 + t\vec{d}$. 

Repare que a equação faz sentido e bate com a descrição que dei acima de um ponto sendo deslocado numa direção. Nesse caso, o fator $t$ determina qual a quantidade de incrementos na direção de $d$ o ponto $P_0$ sofrerá.

O vetor $\vec{d}$ é chamado de vetor diretor da reta. É importante notar que não é necessário que o vetor esteja sobre a reta – isso no fundo não faz nem sentido. O vetor tem que dar a direção, e por isso argumentamos no sentido dele ser paralelo à reta.

Veja que a forma $P = P_0 + t\vec{d}$  é muito similar à equação de movimento uniforme da física, $S = S_0 + vt$. Repare que essa equação é escalar, pois o movimento é unidimensional - mas definindo a reta de forma paramétrica, avançamos um passo na descrição de movimentos pois nos livramos da análise numa direção só. Com o tratamento vetorial é possível representar deslocamentos um mais gerais.

Outras observações: É importante ressaltar alguns fatos que às vezes não se comenta na sala de aula. Um deles diz respeito a existência de infinitas parametrizações. Isto é, sempre que for possível parametrizar um segmento qualquer, uma superfície, um objeto, tenha em mente que existem infinitas parametrizações - então não fique frustrado se seu resultado não bateu com o do gabarito.
Uma prova fraca: Para definiar a reta utilizamos um ponto e um vetor diretor. Não dei importância para o tamanho desse vetor, mas sim somente em sua direção. Isso quer dizer que a reta fica bem definida (no sentido da parametrização) tendo um ponto e qualquer vetor que tenha a direção pré-fixada. Como existem infinitos vetores paralelos a um vetor dado, segue que existem infinitas parametrizações de retas.

Bem, acho que isso é tudo de "dicas" que tenho nas mangas. Nos próximo post, falarei dos planos e suas parametrizações.



Ah, também falarei um pouco da importância das parametrizações para representação de superfícies mais gerais, e seu consequente uso no cálculo integral.

E não me esqueci do Taylor em 2 variáveis... hehe.

7 comentários:

  1. Oi amigo.
    Vc pode me indicar uma fonte para aprender como parametrizar retas usando coordenadas esféricas?
    Obrigado.

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  2. Olá,

    Você pode procurar material sobre coordenadas esféricas em livros de cálculo de mais de uma variável. Eu estudei pelo livro do Edwards & Penney, volume 3. O livro de Cálculo 2 do James Stewart também explica sobre as coordenadas esféricas.

    Mas, a propósito, geralmente constuma-se utilizar as coordenadas esféricas para descrever objetos tridimensionais e que possuem uma certa simetria, como as próprias esferas, os elipsoides, toros, etc. Para descrever um objeto desses é preciso de três parâmetros, a saber, um ângulo equatorial, um ângulo azimutal e um raio. Os ângulos equatoriais e azimutais variam, e funcionam exatamente como a ideia de latitude e longitude quando pensamos no globo terrestre. O raio também pode variar, e no caso de ser fixo, descrevemos somente uma casca esférica ao invés de uma esfera maciça.
    A reta, por ser um objeto unidimensional, é descrita somente por um parâmetro - esse parâmetro é quem multiplica o vetor diretor da reta. Assim, por exemplo, a equação paramétrica R = t(1,1,1) com 0<t<infinito, descreve uma reta na direção do vetor (1,1,1). Enquanto que a equação paramétrica E = (r cos p sin t, r cos p cos t, r sin p), com 0<r<1, 0<p<pi/2, 0<t<2pi, descreve uma esfera, centrada na origem, e de raio 1. Veja que no caso da esfera, foi preciso de três parâmetros para definí-la, enquanto que a reta só precisa de um.

    Abraços.

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  3. Querido, como faço para parametrizar a reta 2x - 3y=6.Obrigada!

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  4. Olá,

    Para parametrizar a reta 2x - 3y = 6, devemos levar em conta que a reta é um objeto unidimensional e portanto vai possuir somente um parâmetro para descrever tanto a coordenada x quanto a coordenada y.

    Isto quer dizer que todos os pontos da reta terão a seguinte forma: P = ( x(t) , y(t) )
    Ou seja, x tem seu valor dependente de t e y também. Dessa forma agora, a reta passa a ser a imagem da parametrização.

    Quando a equação da reta é dada da forma como você apresentou, 2x-3y=6, convenciona-se fazer x(t) = t, ou seja, P = ( t , y(t) ).

    Agora, se x(t) = t, então trocamos x por t na equação, 2t-3y=6 e isolamos y: y=(2t-6)/3.
    Veja que temos y em função de t, que é justamente a descrição dos pontos y da reta em função do parâmetro t, y(t). Assim, a equação paramétrica da reta fica: R = ( t , (2t-6)/3 ), onde t é um número que varia de -infinito até +infinito.

    Repare que: 1 - para qualquer valor de t, temos um valor correspondente de ponto (que está sobre a reta).
    2 - a parametrização não é única. você poderia ter escolhido x(t) = 0.5t e seguido os passos seguintes, por exemplo, mas isso não mudaria a imagem da parametrização.

    Espero ter ajudado.

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  5. Há outras maneiras de se parametrizar a reta também. Em geral, por geometria analítica a descrição da reta é feita da seguinte maneira:
    $R = P_o + t\vec{d}$, onde $P_o$ é um ponto da reta, $\vec{d}$ é o vetor diretor da reta e t o parâmetro (o mesmo que me referi anteriormente).

    Por esse método, fazemos o seguinte: Achamos um ponto da reta, por exemplo, x=0, y=-2, esse será o $P_o = (0,-2)$. O vetor diretor é quem dá a direção da reta, e podemos encontrá-lo através de dois pontos da reta. Podemos usar o ponto anterior e $P_1=(3,0)$. Com isso, $\vec{d}=P_1-P_o=(3,2)$. Colocando na equação:

    $R = P_o + t\vec{d}$
    $R = (0,2) + t(3,2)$
    $R = (0+3t,2+2t)$

    Se comparar com a parametrização anterior, verá que as equações são equivalentes.

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  6. Sabe como parametrizar f(x,y,z) = x-3y²+z ? Grato.

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  7. como parametrizar o sistema x-y+2z= 5 ?
    3x+y-z= 1

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