Pringles - Tutorial Mathematica Parte 2

Olá pessoal,

Depois de um bom tempo parado volto a postar neste nosso espaço. Pretendo escrever um pouco mais durante essas férias.

Como prometido, retomarei o primeiro post sobre como desenhar a batata Pringles no software Mathematica. Neste último mostrei como fiz para encontrar a equação e o domínio adequado para se chegar no formato da batata. Em suma, a partir da conhecida função sela generalizada ($z=a x^2- b y^2$, da qual variei os parâmetros $a$ e $b$) cheguei numa curva parecida com a da batatinha. Em seguida, tive que ajustar o domínio, pois toda vez que desenhamos alguma coisa no Mathematica, e em geral qualquer software de manipulação matemática, ele assume o domínio como sendo quadrado, o que não é o que eu desejava. Então para encontrar o domínio ideal tive que olhar a batata "por cima" e imaginar qual a melhor curva que se ajustava ao contorno observado. Pensei numa elipse e, da mesma maneira como a função de sela, fui variando os coeficientes e os expoentes da equação da elipse generalizada para obter um contorno satisfatório. Com o domínio e a curva definida, bastou combiná-los para obter uma boa aproximação da batatinha:

Agora, vamos ver como adicionar textura ao gráfico acima para que ele se torne uma batata. A nossa sorte é que ficou muito fácil manipular imagens e integrá-las aos objetos na última versão do Mathematica (8.0).

Para modificar o estilo de um gráfico, isto é, a maneira como ele vai ser desenhado, precisamos utilizar a instrução (directive em inglês) PlotStyle. Se não estou enganado todos os gráficos gerados pelo software aceitam a instrução PlotStyle como argumento. Quando não se menciona o PlotStyle ao desenhar algum gráfico, o Mathematica assume certos valores padrões, como a cor roxa em funções de uma variável, uma determinada espessura, etc.

Abaixo um exemplo de como se escreve o comando para se ter uma ideia de como a coisa funciona e algumas de suas opções:

Veja que num único comando Plot agrupei entre chaves três funções diferentes para serem desenhadas ($y=x$, $y=x^2$ e $y=x+1$), e para cada função determinei opções diferentes dentro do PlotStyle. A sintaxe segue a seguinte lógica: PlotStyle -> { {opções da função 1},{opções da função 2},{opções da função 3} }. Para a função 1, $y=x$, escolhi as opções Thick e Orange. Thick faz a linha do gráfico ficar mais grossa e Orange faz a linha ficar laranja. Na segunda função, usei Red para a cor vermelha e Dashed para a linha ficar tracejada. Na última função usei Blue para a cor azul e Thickness[0.03] - o Thickness funciona como o Thick, mas permite que você determine um valor para a espessura da linha a ser desenhada dentro dos colchetes.

Pois bem, entendido como o PlotStyle governa as características de estilo de um gráfico, seguimos adiante para verificar como o Mathematica trabalha com texturas.

Para gráficos gerados por comandos do tipo Plot (Plot, Plot3D, ContourPlot, ParametricPlot, etc.), para inserir uma textura basta adicionar a instrução Texture[nome da textura, variável da textura, etc] como argumento do PlotStyle. No entanto, se você testar este comando para diversos tipos de gráficos e funções, você vai reparar que a textura não se encaixa muito bem ao gráfico, muitas vezes aparece distorcida, etc.
Já gráficos gerados pelos comandos primitivos de Polygon, Rectangle, etc, não aceitam somente Texture[] como instrução (do próprio comando Graphics ou Graphics3D, não do PlotStyle), é preciso de algo mais para que a textura seja aplicada (o comando Disk, por exemplo, nem mesmo admite textura).

Em ambos os casos, a questão por trás dos problemas está ligada ao software não "saber" como posicionar a textura em relação à superfície. É preciso então "dizer" para a linha de comando de que maneira aquela textura deve ser colocada sobre a superfície - e essa maneira está ligada às coordenadas do gráfico. Estudemos alguns exemplos:

Neste exemplo, a textura foi aplicada num polígono. A ordem de cada instrução não é intuitiva, e muitas vezes deve-se recorrer ao help (tecla F1) para entender os detalhes de cada comando. Mesmo assim, vemos que o argumento da instrução Texture foi uma imagem qualquer (você pode, por exemplo dar ctrl+c numa figura da internet e ctrl+v no notebook do Mathematica). O interessante está na capacidade do software aceitar como argumento uma imagem assim, sem mais nem menos. Seguido da textura, o triângulo é definido pelo comando Polygon, cujos argumentos são as coordenadas dos vértices do triângulo. Após determinado as coordenadas do objeto, vamos ter que determinar como a textura vai ser posicionada, e isso é feito, como dito acima, relacionando as próprias coordenadas do triângulo. No caso, as coordenadas utilizadas no comando VertexTextureCoordinates são as mesmas do que o do triângulo, o que indica, a grosso modo, que a sua textura foi "cortada" exatamente no formato do triângulo. Se as coordenadas de entrada do comando VertexTextureCoordinates fossem multiplicadas por 10, por exemplo, então esse triângulo de textura que vemos acima seria repetido diversas vezes dentro do triângulo original.

Utilizando mais imagens e menos texto, veremos como se aplica textura a uma superfície gerada por comandos como o Plot3D, por exemplo:

Em um gráfico 3D, há mais de uma opção para nele fixarmos a textura. A primeira dela é a mais simples, basta prosseguir mais ou menos como no caso anterior, colocando a instrução Texture dentro da PlotStyle. Note entretanto que dessa maneira você não tem controle sobre como a textura é posicionada sobre o gráfico, ou seja, o programa utiliza um padrão interno. Já com o comando TextureCoordinateFunction, é possível determinar de que maneira a textura é colocada em função das variáveis, que são expressas como: #1 = x, #2 = y, #3 = u, #4 = v, sendo que u e v são variáveis paramétricas genéricas (podem ser $r$ e $\theta$ numa parametrização polar, por exemplo). Veja as mudanças que fiz nessas variáveis nos gráficos acima. É possível até colocar valores elevados ao quadrado, também a soma ou subtração, #1+#2, por exemplo. Não entrarei em muitos detalhes pois o post já está extenso, mas se tiver interesse busque modificar os parâmetros por conta e ver os efeitos dessas mudanças - o melhor jeito de aprender é você mesmo manipulando as coisas.

Pois bem, entendido mais ou menos como se coloca textura sobre um gráfico no Mathematica, bastou então pegar uma figura na internet que representasse bem a superfície da batatinha e utilizá-la como textura para o gráfico que encontramos no post anterior.

E está ai a nossa batata Pringles desenhada via equações algébricas e um pouco de malabarismo computacional. Bacana não? Se é verdade que a natureza pode ser descrita através da matemática, imagina toda a trabalheira que isso deve ter dado para o programador universal?

Espero que tenham gostado e aprendido com este post. Com um pouco de criatividade, dá pra se fazer muitas outras coisas com as ferramentas que mostrei. Por exemplo, desenhei a bandeira do Brasil balançando ao vento utilizando texturas enquanto escrevia esta segunda parte:

No próximo post, vou falar de funções lineares entre espaços vetoriais, as chamadas transformações lineares.

Posição Relativa - Retas e Planos

Fiquei um tempo sem postar devido ao retorno às aulas no fim do mês passado, que tomou-me tempo para colocar as coisas em dia. Mas sem mais delongas, hoje vamos falar de um assunto muito interessante, que é a posição relativa entre retas, retas e planos, e planos. 

Esse tópico é passado um tanto quanto rápido nas aulas e não deveria ser assim, pois nele o apelo geométrico aliado ao poder da representação vetorial são notórios e ajudam o estudante a compreender os vetores no espaço e suas relações, sem falar que é um assunto que representa, de fato, o nome da disciplina. O raciocínio e manejos necessários para entendê-lo, quando dominados, demonstram que o estudante compreendeu a teoria com solidez.

Nesse sentido vou tentar mostrar como a visão geométrica e os conceitos da álgebra vetorial nos dão sustentação para resolver os exercícios mais comuns nesse tipo de assunto, sem que precisemos decorar fórmulas. No que segue, vou utilizar os conhecimentos padrões e o fato de que o produto misto entre três vetores é nulo se e somente se os três vetores forem coplanares (I).

Posição relativa entre retas: Lembremos que a reta, na sua representação vetorial ou paramétrica, é escrita da seguinte forma $r:\,X=P_0+t\vec{v}$. No espaço $\mathbb{R}^3$, essa equação se desdobra em três: $(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\{v_x,v_y,v_z\}$, uma para cada coordenada. O ponto $P_0$ é um ponto qualquer, e $\vec{v}$ é o vetor diretor da reta.

Então consideremos duas retas no $\mathbb{R}^3$, $r_1$ e $r_2$, com vetores diretores $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$. Há três casos a se considerar:

1. $r_1$ e $r_2$ são paralelas (podem ou não ser coincidentes).
2. $r_1$ e $r_2$ são concorrentes.
3. $r_1$ e $r_2$ são reversas.

Vejamos qual a implicação, em termos vetoriais, de cada caso:

1. Se $r_1$ e $r_2$ são paralelas então há três fatos a se considerar:
• Os vetores diretores $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ também são paralelos. Isso implica que $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ são proporcionais, isto é, existe algum escalar $k\in\mathbb{R}$ tal que $\vec{v}_1=k\cdot\vec{v}_2$ (lembre-se que os vetores são livres, e por isso a proporcionalidade não requer colinearidade). 
• Além disso, por serem paralelas, as retas $r_1$ e $r_2$ estão contidas num mesmo plano $\pi$, de modo que se tomarmos o segmento $\overline{P_2P_1}$, sendo $P_1\in r_1$ e $P_2\in r_2$, ele deve estar em $\pi$ assim como estão $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ . A condição que expressa coplanaridade entre vetores é (I), ou seja $(\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\cdot\overline{P_1P_2}=0$. Repare na cadeia lógica de fatos: o produto misto é dado pelo determinante da matriz composta pelos vetores diretores da reta e um vetor fabricado que mora entre essas retas paralelas. Como os vetores diretores das retas são paralelos, isso implica que um é múltiplo do outro, o que implica numa linha ser múltipla da outra na matriz do produto misto, que implica no determinante ser zero. 
• As retas podem ou não ser coincidentes. Deixo para o leitor verificar quais são as condições que asseguram a coincidência das retas.
2. Se $r_1$ e $r_2$ são concorrentes, então há três fatos a se considerar:
• Os vetores diretores $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ não são paralelos e portanto não proporcionais, de modo que é impossível encontrar $k\in\mathbb{R}$ que verifique $\vec{v}_1=k\cdot\vec{v}_2$.
• A intersecção $r_1 \cap r_2 = \{P\}$ é um ponto que pode ser determinado igualando-se as coordenadas das duas retas e resolvendo o sistema resultante.
• Se tomarmos, assim como no caso anterior, um segmento que liga as duas retas, $\overline{P_2P_1}$, sendo $P_1\in r_1$ e $P_2\in r_2$, ele também estará contido num plano suporte (que contém) de $r_1$ e $r_2$. Por consequência, o produto misto $(\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\cdot\overline{P_1P_2}$ também se anula. Novamente, verifique que uma das linhas da matriz do produto misto é combinação linear das outras, o que implica na nulidade do determinante e do produto misto.
3. Se você verificou que as condições 1 e 2 não se aplicam ao caso que você estuda, então por exclusão as retas são reversas. Logicamente, o argumento é válido. Na prática, é pouco utilizado, uma vez que existem métodos, como os anteriores, para determinar essa característica entre duas retas. Então se $r_1$ e $r_2$ são reversas:
• Os vetores diretores $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ não são paralelos e portanto não proporcionais, de modo que é impossível encontrar $k\in\mathbb{R}$ que verifique $\vec{v}_1=k\cdot\vec{v}_2$.
•  A intersecção $r_1 \cap r_2 = \{O\}$. Além disso, as próprias retas estão contidas em planos diferentes.
• Neste caso, ao fabricarmos um segmento $\overline{P_2P_1}$, sendo $P_1\in r_1$ e $P_2\in r_2$, não haverá coplanaridade, de modo que o produto misto $(\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\cdot\overline{P_1P_2}\neq0$.

Repare então que as condições são algebricamente elaboradas, mas simples pois há a visualização geométrica do fato estudado:

Retas paralelas, a construção do plano suporte e do segmento entre as duas retas

Retas concorrentes, a construção do plano suporte, o segmento entre as retas e os vetores diretores das retas.

Retas reversas, os planos suportes de cada reta, o segmento entre as retas (que está em outro plano) e os vetores diretores das retas e do segmento. Com um pouco de boa vontade vc verá que o produto misto desses vetores não é nulo.

Posição relativa entre planos: Seja $\pi_1$ e $\pi_2$ dois planos no espaço e $\vec{n}_1$ e $\vec{n}_2$ os vetores normais aos respectivos planos. É possível ocorrer:

1. $\pi_1$ e $\pi_2$ são paralelos (podem ou não ser coincidentes).
2. $\pi_1$ e $\pi_2$ são concorrentes.

 Se o leitor compreendeu a ideia da análise da posição relativa de retas por meio de seus vetores diretores, então determinar a posição relativa de planos torna-se fácil pois basta verificar a relação entre os vetores normais:

1. Se $\vec{n}_1$ e $\vec{n}_2$ forem paralelos os planos também o serão. Se são paralelos, então são proporcionais - assim existe um $k\in\mathbb{R}$ que verifica a relação $\vec{n}_1=k\cdot \vec{n}_2$.
2. Se $\vec{n}_1$ e $\vec{n}_2$ não forem paralelos, então os planos são concorrentes.

Posição relativa entre reta e plano: Com base nos casos anteriores, tente verificar algumas possibilidades por si mesmo. No próximo post discuto essas posições relativas, bem como entro na questão de distância entre pontos, etc.

Abraços!

Parametrização de retas

Esse post é continuação para suplemento de geometria analítica. No anterior em suma falamos de vetores, algumas operações básicas e propriedades. Depois insistimos na ideia de vetores como transportadores de pontos.

Eu havia escrito uma outra coisa sobre vetores para colocar aqui, mas não me agradou, então pensei em redigir algumas notas que provavelmente eu gostaria de ter lido quando estudei essa disciplina, há 2 anos atrás. Novamente, deixo de lado o rigor para evocar o lado intuitivo do assunto.

Então nesse sentido de pequenas notas, acho legal esclarecer alguns conceitos que a primeira vista nos parecem dúbios.

1- Estando num sistema de eixos cartesianos, representamos um ponto como uma dupla de números: Por exemplo, o ponto $P=(1,2)$. Cada número da dupla recebe o nome de coordenada do ponto.

2- Um vetor também é representado por uma dupla de números (cada um chamado de componente do vetor), por exemplo $\vec{v}=<-2,1>$. Porém, ele não indica um ponto no plano, mas sim um deslocamento (neste caso em linha reta), sendo que cada componente do vetor indica a variação que ele causa na coordenada correspondente do ponto sobre o qual ele atua.

3- Ou seja, um vetor não tem lugar fixo no plano (isso é muito importante) – no fundo ele transporta, desloca pontos numa determinada direção e na intensidade correspondente às suas coordenadas quando aplicamos ele sobre um ponto. O que vemos na figura acima são os deslocamentos causados pelo vetor $\vec{v}=<-2,1>$ em diferentes pontos do plano. Isto é: O vetor $\vec{v}=<-2,1>$, aplicado ao ponto $(1,2)$ leva-o até o $(-1,3)$.

Reta paramétrica:

Quando queremos determinar uma reta, é necessário e suficiente:

• conhecer dois pontos por onde ela passa

Vou deixar de lado o termo “equação” da reta, pois ele ainda traz a ideia cartesiana do negócio ($y=ax+b$). Ao invés disso, falaremos da descrição vetorial da reta, ou, mais simplificadamente, da parametrização da reta.

A ideia é simples. Imagine um ponto. Imagine uma direção (pense na rosa dos ventos assentada sobre esse ponto). Imagine o ponto deslocando-se numa determinada direção em linha reta e deixando um rastro no chão. Voilá, você obteve uma reta.

Agora como descreveremos isso em termos matemáticos? Há duas maneiras, uma mais intuitiva, menos rigorosa. Outro nem tanto intuitiva (no primeiro momento), mas mais fundamental. Vou descrever a última, enquanto que a primeira deixo para conversar nos atendimentos extra classe.

a) a descrição formal é a seguinte: suponha que tenhamos uma reta $r$, no $\mathbb{R}^3$ que não sabemos a equação, mas sabemos que ela passa pelo ponto $P_0=(a,b,c)$ e é paralela ao vetor $\vec{d}=(d_1,d_2,d_3)$. Seja $P=(x,y,z)$ um ponto qualquer dessa reta. Se $P$ pertence a reta, então o vetor $P-P_0=(x-a,y-b,z-c)$ deve ser paralelo ao vetor $\vec{d}=(d_1,d_2,d_3)$.

A condição para que dois vetores sejam paralelos diz que um deve ser múltiplo do outro. Isto é:

$P-P_0=t \vec{d}$, onde $t$ é o múltiplo escalar $\in\mathbb{R}$. Como o ponto $P$ é arbitrário, chegamos na descrição paramétrica da reta: $P = P_0 + t\vec{d}$. 

Repare que a equação faz sentido e bate com a descrição que dei acima de um ponto sendo deslocado numa direção. Nesse caso, o fator $t$ determina qual a quantidade de incrementos na direção de $d$ o ponto $P_0$ sofrerá.

O vetor $\vec{d}$ é chamado de vetor diretor da reta. É importante notar que não é necessário que o vetor esteja sobre a reta – isso no fundo não faz nem sentido. O vetor tem que dar a direção, e por isso argumentamos no sentido dele ser paralelo à reta.

Veja que a forma $P = P_0 + t\vec{d}$  é muito similar à equação de movimento uniforme da física, $S = S_0 + vt$. Repare que essa equação é escalar, pois o movimento é unidimensional - mas definindo a reta de forma paramétrica, avançamos um passo na descrição de movimentos pois nos livramos da análise numa direção só. Com o tratamento vetorial é possível representar deslocamentos um mais gerais.

Outras observações: É importante ressaltar alguns fatos que às vezes não se comenta na sala de aula. Um deles diz respeito a existência de infinitas parametrizações. Isto é, sempre que for possível parametrizar um segmento qualquer, uma superfície, um objeto, tenha em mente que existem infinitas parametrizações - então não fique frustrado se seu resultado não bateu com o do gabarito.

Uma prova fraca: Para definiar a reta utilizamos um ponto e um vetor diretor. Não dei importância para o tamanho desse vetor, mas sim somente em sua direção. Isso quer dizer que a reta fica bem definida (no sentido da parametrização) tendo um ponto e qualquer vetor que tenha a direção pré-fixada. Como existem infinitos vetores paralelos a um vetor dado, segue que existem infinitas parametrizações de retas.

Bem, acho que isso é tudo de "dicas" que tenho nas mangas. Nos próximo post, falarei dos planos e suas parametrizações.

Ah, também falarei um pouco da importância das parametrizações para representação de superfícies mais gerais, e seu consequente uso no cálculo integral.

E não me esqueci do Taylor em 2 variáveis... hehe.

Revisão básica de vetores

Como serei monitor da turma de 2011 de Geometria Analítica e Álgebra Linear da FCA, começo nesse fim de dezembro a escrever, sem muito rigor, sobre tópicos da matéria. Faço isso por dois motivos. Primeiro, o rigor em excesso no início pode ser prejudicial e até afugentador, por isso, um texto informal ajuda na compreensão geral do assunto. Segundo, pretendo melhorar o blog como ferramenta de auxilio da monitoria, assim, preciso seguir minimamente os tópicos da ementa e assim farei de modo descontraído, pois os formalismos estão nos livros.

Se o início da disciplina não for feito em cima de matrizes e sistemas lineares, então possívelmente será feito sobre vetores.

Nosso primeiro contato com vetores acontece geralmente no ensino médio, e é feito de maneira a familiarizar o aluno com as operações básicas. Uma breve retrospectiva:

(1) Define-se vetor como sendo um segmento de reta orientado, mas essa não é uma definição interessante e veremos o por quê mais adiante.

(2) Representamos algebricamente os vetores no plano como sendo duplas de números. Se os vetores partem da origem, então a dupla $(x,y)$ representa o "segmento de reta" que sai origem e chega até o ponto $(x,y)$. Mais geral, dado um ponto inicial $P_0=(a,b)$ e um ponto final $P=(c,d)$, temos $\vec{P_0P}=(c-a,d-b)$ o vetor que liga $P_0$ a $P$.

(3) A soma vetorial é feita componente a componente. Se $\vec{v_1}=(x_1,y_1)$ e $\vec{v_2}=(x_2,y_2)$ são vetores, então a soma fica $\vec{v_1}+\vec{v_2}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$. A subtração é vista como a soma de vetores, mas o vetor que subtraí fica com o sinal contrário:

$\vec{v_1}-\vec{v_2}=\vec{v_1}+(-\vec{v_2})=(x_1-x_2,y_1-y_2)$.

Os vetores obedecem aos axiomas de espaço vetoriais, coisa que podemos falar mais adiante. Basicamente, a soma é comutativa e associativa, existe inverso aditivo, elementro neutro da adição, e etc etc etc...

(4) Graficamente, a soma vetorial é feita pela regra do paralelogramo.

(5) Muitas vezes precisamos determinar o tamanho do vetor. A visualização gráfica do vetor no plano sugere naturalmente que o comprimento do vetor venha do teorema de Pitágoras. Ou seja, chamamos de módulo de $\vec{v}$, $||\vec{v}||$, o comprimento do vetor v, cuja expressão é $||\vec{v}||=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$.

(6) Não existe "divisão" vetorial, mas existe multiplicação de um vetor por um escalar: $k\vec{v}=k(x_1,y_1)=(kx_1,ky_1)$ com $k\in\mathbb{R}$. Se $k=\dfrac{1}{||\vec{v}||}$, então $k\vec{v}=\dfrac{\vec{v}}{||\vec{v}||}=\vec{u}$ e dizemos que u é vetor unitário. O que acabamos de fazer foi dividir cada componente de $\vec{v}=(x_1,y_1)$ pelo tamanho do vetor, assim, geramos um novo vetor $\vec{u}$, cuja direção é a mesma de $\vec{v}$, mas seu comprimento é menor que o original e tem tamanho 1.

(7) O produto escalar (ou produto interno) é uma operação entre dois vetores que a eles associa um número, Normalmente se $\vec{v_1}=(x_1,y_1)$ e $\vec{v_2}=(x_2,y_2)$, então $\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}=x_1x_2+y_1y_2$. Digo normalmente pois existem outros tipos de produtos internos, mas isso falaremos depois.
O produto vetorial é outro tipo de operação entre dois vetores e que a eles associa um novo vetor, ortogonal aos dois primeiros. Dedicarei um post especial para estudar o produto escalar e o vetorial, explicar algumas propriedades e principalmente aplicações na física.

Bem, se os vetores são os mesmos que estudamos no colégio, qual a diferença para os vetores de agora?

(i) Os vetores agora são fundamentados dentro de um assunto maior, que é a álgebra linear. A álgebra linear se ocupa basicamente das transformações lineares, que podem ser vistas como funções entre espaços vetoriais. Essas coisas farão mais sentido no futuro, quando as estudaremos mais a fundo, etc. Uma aplicação dos conceitos está, por exemplo, nos sistemas lineares $Ax=b$, quando dizemos que é necessário e suficiente que b pertença à imagem da transformação linear A para que exista solução.

(ii) Na realidade, a álgebra linear é uma disciplina separada da geometria analítica, mas num curso introdutório é interessante associá-las pois a geometria ajuda a entender os conceitos da álgebra, assim como a álgebra vetorial vai facilitar muito alguns problemas de geometria.

(iii) Uma outra coisa muito interessante que a álgebra linear permite é generalizar o conceito de dimensão. No plano, um vetor é dado por uma dupla de números. No espaço, uma tripla. Em 4 dimensões, são necessários 4 números, ou uma quádrupla, para determinar o vetor, e assim seguem as outras definições (de produto interno, módulo, etc). Isso não significa que essas dimensões existam fisicamente, mas elas fazem sentido matematicamente.

(iv) A palavra vetor vem do latim vector - aquele que transporta alguma coisa. O significado etimológico não se relaciona com a definição de "segmento de reta orientado", porém, é mais intuitivo pensar em vetores como transportadores de pontos, como a definição da palavra sugere. Mas como assim?

Bem, imagine um mapa cartográfico - vamos pegar dois pontos nesses mapa, $P_0=(x_1,y_1)$ e $P=(x_2,y_2)$. Suponha que estejamos dentro de um carro em $P_0$ e nosso destino é chegar em $P$. Sabemos, como eu expliquei acima, que um vetor age sobre os pontos, transportando-os. Vamos empregar esta idéia em nossa situação: O vetor que liga $P_0$ a $P$ é dado por $\overline{P_0P}=P-P_0=(x_2-x_1,y_2-y_1)$. Se somármos esse vetor com o nosso ponto inicial, $\overline{P_0P} + P_0$, vamos obter: $(x_2-x_1+x_1,y_2-y_1+y_1) = (x_2,y_2) = P$, uma vez que $\overline{P_0P} + P_0=P-P_0+P_0=P$ ou seja, bastaria nos deslocarmos $||\overline{P_0P}||$ unidades de comprimento na direção de $\overline{P_0P}$ para que chegássemos ao ponto $P$. Então repare que de fato os vetores representam deslocamentos de um ponto até outro quando efetuamos essa soma.

Ano que vem começo a falar da parametrização de reta e de outras coisas, utilizando a ideia acima. Também estou devendo um post sobre Taylor em duas variáveis, o que farei provavelmente em fevereiro. Abraços!