Máximos e Mínimos com Multiplicadores de Lagrange 2

Por conta da faculdade, estive algum tempo longe do blog mas não deixei de responder as dúvidas que eventualmente surgiam. Nesse periodo, comecei a pesquisar assuntos para escrever e acabei decidindo por falar novamente de Multiplicadores de Lagrange, pois esse foi um dos posts mais acessados do blog (Link aqui). O engraçado é que hoje esse post completa exatamente 1 ano, mas não por isso escolhi o mesmo tema. Enfim. Parabéns para o blog!

Hoje vamos resolver um exercício de máximos e mínimos simples que eu tirei do enunciado de uma prova do MIT (ocw.mit.edu) e que deve ter sido tirado de algum livro padrão (Stewart, Simmons). Dessa vez a resolução vai ser feita do modo convencional a partir do sistema não linear decorrente da equação que relaciona o gradiente da função e o gradiente da restrição. Vamos utilizar o Mathematica para visualizar a situação descrita pelo enunciado e entender o que se passa.

O exercíco em questão tem o seguinte enunciado:

Quais são os valores máximos e mínimos global da função $f(x,y,z)=xyz$ sobre a superfície elipsoidal de equação $2x^2+2y^2+z^2=2$.

Identificamos que a função a ser maximizada é $f(x,y,z)=xyz$ e a restrição do problema é a superfície elipsoidal $2x^2+2y^2+z^2=2$. Essa equação de elipsóide não está na forma canônica $\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 + \left(\dfrac{z}{c}\right)^2 = 1$. A forma canônica do elipsóide se reduz a uma equação de esfera quando $a=b=c=k$ e isso é intuitivo, pois como os valores de a,b e c determinam os alongamentos dos eixos do elipsoide na direção x, y e z, quando o alongamento é igual nas três direções, não se pode obter outra coisa senão a própria esfera.

Está ai a bola de futebol americano do enunciado!

Uma ideia interessante é tentar observar o que se passa através do enunciado. A função xyz está distribuida por todo espaço, ela é um tanto quanto problemática para valores pequenos de x y e z (por que?) mas é possível deduzir que ela vai cortar esse elipsóide algumas vezes e devemos determinar em quais pontos desse corte f(x,y,z) vai ter seu valor máximo.

Pois bem, esse exercício, diferentemente daquele que expliquei no primeiro post sobre Lagrange, possui somente uma restrição. Assim, o método dos multiplicadores nos diz que os pontos de máximo ou mínimo ocorrem quando o sistema

$\nabla f(x,y,z) = \lambda\nabla g(x,y,z)$

$g(x,y,z)=0$

É satisfeito. Lembramos que a primeira linha representa uma equação vetorial que dá origem a 3 equações escalares e a restrição deve ser reescrita como uma função escalar do $\mathbb{R}^3$, $g(x,y,z)=2x^2+2y^2+z^2=2$ e a condição $g(x,y,z)=0$ é a curva de nível que equivale à equação original.

Várias curvas de nível de g(x,y,z)

Expandindo as equações, chegamos em:

$yz = \lambda 4x$

$xz = \lambda 4y$

$xy = \lambda 2z$

$2x^2+2y^2+z^2-2=0$ 

Esse sistema é não linear com quatro variáveis e quatro equações. Para resolvê-lo, existe uma estratégia que quase sempre funciona quando caímos nessas equações pelo método de Lagrange.

A ideia é multiplicar a primeira linha por x e a segunda por y. Dessa forma, obtemos:

$xyz=\lambda 4x^2$

$xyz=\lambda 4y^2$

Dessa duas equações, chega-se em $\lambda 4x^2 = \lambda 4y^2$. A tentação de "cortar" tudo é muito grande, mas devemos ser cautelosos. Ao inves disso, reescrevemos $4\lambda(x^2-y^2)=0$. Essa equação é satisfeita se $\lambda = 0$ ou se $x^2=y^2$.

Analisando o caso que $\lambda=0$, caímos em $xy=0$, $xz=0$, $zy=0$. Isso implica que pelo menos duas variáveis são nulas e a terceira pode não ser. Supondo que $x=0$ e $y\neq 0$, vemos por eliminação que $z=0$. Assim, colocando esses valores na restrição $2(0)^2+2y^2+(0)^2-2=0$ determinamos $y=\pm 1$. Sumarizando, se $\lambda =0$ obtemos os pontos extremos $(0,0,\pm 1)$. Assim, $f(0,0,\pm 1)=0$. De forma geral, se $\lambda =0$, qualquer permutação do ponto $(0,0,\pm 1)$ é um ponto extremo.

Agora analisando o caso $x^2=y^2$, isto implica que $x=\pm y$. Supondo que $x=y$, por enquanto, vemos que da primeira equação chegamos em $z=4\lambda$ e pela terceira equação $x^2=2\lambda z$. Juntando esses dois casos, chegamos na relação $x^2 = \dfrac{z^2}{2}$. Substituíndo essa condição na restrição, chegamos em: $3z^2=2\Rightarrow z=\sqrt{\frac{2}{3}}$. Voltando com esse valor de z chegamos em $x=y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. O valor da função neste ponto é $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)=\dfrac{\sqrt{6}}{9}$. Como o valor de f neste ponto é maior que o ponto encontrado anteriormente pela condição $\lambda = 0$, concluí-se que este é um máximo global. Supondo que $x=-y$, chega-se nos mesmos resultados exceto pelo sinal de y, o que resulta num valor da função de: $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)=-\dfrac{\sqrt{6}}{9}$ que é o mínimo global.

Na figura vemos nosso elipsóide em azul e as curvas de nível da função f(x,y,z) com os dois pontos, um máximo e outro mínimo. Essas superfícies que parecem "cebolas invertidas" são as curvas de nível de f, ou seja, quando $xyz=K& onde K é uma constante qualquer. O elipsóide intersecciona a funçaõ f diversas vezes, porém, somente nos pontos em que encontramos acima é que f assume seu valor máximo.

Espero que a explicação do exercício tenha ficado clara. Um abraço a todos! Parabéns ao nosso post de Lagrange.

Olá Anônimo, obrigado pelo comentário no post sobre maximos e mínimos por Lagrange e pela sujestão para escrever sobre Taylor em 2 variáveis. Assim que tiver tempo (começo de dezembro) o farei.

Sobre a análise da fronteira, é preciso verificar caso a caso. Primeiro, é interessante e não existe problema algum em dividir a borda em "pedaços" e analisar cada pedaço separadamente. Geralmente se faz essa divisão aproveitando-se do formato do domínio.

Por exemplo, muitos livros apresentam funções definidas num contorno triangular, no qual dois catetos se assentam nos eixos coordenados positivos e a hipotenusa corta o quadrante positivo. Vamos supor então que queremos investigar os candidatos a max. e mins. de $f(x,y)=2x+y^2$ na fronteira triangular, cujos catetos são dados por $0< x < 2$, $0 < y <2$ e a hipotenusa obedece a equação $y=2-x$.

Começamos então por verificar o cateto que se estende pelo eixo $x$ de $0$ até $2$. Imagine que vc está dentro dum carro no ponto inicial $(x_i,y_i) = (0,0)$ e anda até o ponto final $(x_f,y_f) = (2,0)$ seguindo a linha do eixo x. Nesse movimento, sua coordenada y não mudou - foi sempre zero - mas é possível que seu carro tenha subido ou descido uma montanha - em outras palavras, a coordenada $z = f(x,y)$ pode ter mudado (e queremos saber ela atinge ou maxs, ou mins). Um modo então de verificar como nossa função se comporta nessa linha é fazer $f(x,0) = 2x$ com $x$ variando de $0$ até $2$. Repare que essa função descreve as posições do eixo $z$ que nosso carro atingiu quando estava andando na linha $y=0$ com $x$ de $0$ até $2$. O problema agora recai em cálculo 1, pois queremos encontrar maximos e minimos de uma função de uma variável. Como $f(x,0) = 2x$ é linear e crescente, seu mínimo ocorre quando $x=0$ e portanto o primeiro ponto candidato a mínimo de $f(x,y)$ é $P1 = (0,0)$, e seu máximo ocorre quando $x=2$, e portanto o ponto candidato a máximo de $f(x,y)$ é $P2= (2,0)$.

Analisar o cateto que está no eixo y segue de modo análogo, lembrando que vamos andar de $0$ até $2$ com a coordenada $x=0$ fixa. Assim fazemos $f(0,y) = y^2$ e analisamos os máximos e mínimos no domínio $y\in[0,2]$.

Talvez a dificuldade esteja em verificar na fronteira da hipotenusa, que está inclinada e não podemos fixar uma variável e analisar quanto varia a outra, como fizemos anteriormente.
O truque está em escrever parametricamente a condição de que quem anda na hipotenusa obedece a equação $y = 2-x$ para $x$ no intervalo de $[0,2]$. Em outras palavras, sua posição paramétrica é dada (em função da coordenada x) por $r(x) = (x,2-x)$ com $x$ de $[0,2]$. Testando alguns valores, $x=0$, obtemos o ponto $(0,2)$ que vai de acordo com nosso triangulo no plano.

Fazendo $f(r(x))$ obtemos $f(r(x))=f(x,2-x)=2x+(2-x)^2$. Novamente ficamos com uma variável somente - basta agora aplicar os métodos de cálculo 1 para encontrar os candidatos de máx. e mínimo.

Em suma, essa é a ideia de como analisar os candidatos a máx. e min na fronteira. Se no caso da hipotenusa tivessemos um quarto de circulo, dai seria necessário parametrizar o círculo ($x = r cos t, y = r sen t$) e dai substituiríamos esses valores de x e y na função $f(x,y) = f(rcost,rsent)$ e analisaríamos novamente como no cálculo 1, mas agora nossa função é do angulo $t$.

Uma região aparentemente mais complicada continua sendo simples com esse tipo de análise é essa que desenhei na figura abaixo:

Chute uma função e alguns valores da figura e procure seus máximos e mínimos, é um bom exercício. Não se esqueça que só analisamos as fronteiras nesse post, e não os interiores por elas delimitados.
Em suma, o que fizemos em todos os casos foi parametrizar a fronteira e analisar o problema de uma variável, sendo que isso é mais fácil quando a curva é reta - hehehe
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Quaisquer mais dúvidas não hesite em perguntá-las. Um abraço.