sexta-feira, 19 de março de 2010

Identidades interessantes, parte II

Continuando a série identidades interessantes, nesse post apresento mais uma identidade relacionada aos limites, geralmente chamada de "regra" de limite, dado abaixo:


Esse limite tende para o número de Euler (pronuncia-se "Óiler"). O numero "e" é uma constante muito importante para a matemática e surge em muitos ramos aparentemente desconexos, assim como a constante pi. Num outro post, vou falar um pouco mais da história do número e algumas propriedades a ele relacionadas.

A idéia então é utilizar essa identidade para resolver certos limites. Ai vamos:

Encontre o limite abaixo:


Para atacar o problema, vamos reescrever o numerador de forma a surgir um fator comum ao denominador, (somando e subtraíndo 5).


Podemos separar a fração em duas:


A primeira parcela é uma divisão do tipo a/a, portanto vale 1:


Agora devemos usar um truque algébrico muito comum na resolução de limites, que é a troca de variáveis.
O que vamos fazer é estabelecer uma nova variável t de forma que o limite acima fique idêntico a identidade que apresentei acima. A expressão sugere que devemos fazer:


Para que surja (1+1/t). O próximo passo é restabelecer a tendência do limite. Ora, se x tendia para infinito, t também vai tender, dada a nossa substituição.


Fazendo as trocas devidas, obteremos:


Utilizando algumas regras de exponenciais e de limites,


A segunda parcela da multiplicação resulta em 1. Cabe então resolver a primeira parcela. Repare que estamos quase perto da identidade. Basta algumas manipulações para chegar no resultado:


Esse exercício é só um exemplo de vários que resultam neste limite fundamental. Estude bem essas jogadas de troca de variáveis para resolvê-los com facilidade.

Abraços!

quinta-feira, 11 de março de 2010

Derivadas: Provas, parte I

Devido ao início das aulas e uma grande carga de compromissos, postarei com menos frequência no blog. Esse breve post mostra um resultado muitas vezes apresentado nos livros mas poucas vezes provado pela definição, que é a derivada da função seno.

Primeiro lembramos que a definição de derivada é feita por limites e representa o quociente abaixo:
Dado então que


Substituímos na definição da derivada

.

Lembrando da soma de senos, obtemos:



Agrupando os fatores comuns


Agora podemos dividir o limite duma soma na soma dos limites:


Assim vamos trabalhar com as duas parcelas separadamente. Analisando a primeira, podemos "tirar" de dentro do limite o sen(x), já que não há dependência com h. Depois, multiplicamos em cima e em baixo por um fator comum para simplificar o numerador. Veja:


Substituímos o numerador através da relaçãoe desmembramos (o limite de um produto de n termos é o produto de n limites, um para cada termo):




Olhando isoladamente para a expressão dos limites dentro dos parênteses, vemos que:

   (A)

 
Ou seja, a primeira parcela que analisamos vale zero, cabe então determinar qual o limite da segunda parcela da soma abaixo:




Como

(usamos o mesmo resultado em A)
Segue que:


Como queríamos demonstrar.

Em um post anterior, publiquei um arquivo que demonstra o limite de seno de x sobre x usada para provar essa derivada. Confira.

Lembrando que existem outras demonstrações mais simples e elegantes da derivada do seno. Porém elas utilizam algumas relações trigonométricas não muito lembradas pelos alunos, por isso optei pela formula do seno da soma nos primeiros passos.

Até mais.

quinta-feira, 4 de março de 2010

Canal monitoria em gráfico

Repare na equação abaixo:


Esse emaranhado de números e potências de x e y gera o seguinte gráfico:

Só não me pergunte o intervalo de variação das variáveis. Mesmo assim, é super interessante o que o site Inverse Graphing Calculator faz. É comum desenhar um gráfico a partir de uma dada equação. Fazer o contrário já é muito mais complicado e é justamente isso que essa página oferece. Vale a pena conferir.

segunda-feira, 1 de março de 2010

Identidades interessantes, parte I

Hoje recepcionamos os calouros na faculdade. Todos receberam apelidos e parece que ficaram à vontade com um trote tranquilo. Desejo boas-vindas aos bixos e também um bom curso de Cálculo I.

Neste post, trago um link para um pequeno artigo que escrevi demonstrando uma identidade importante para a resolução de limites envolvendo funções trigonométricas. O artigo seria escrito aqui no blog, mas como houve um contratempo com o plugin do latex, preferi escrever e compilar no meu pc mesmo e disponibilizo agora para vocês.


Aproveitem. Abraços.

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