Quais os melhores livros de Cálculo 1?

Uma dúvida muito comum de quem acabou de entrar na faculdade de exatas é qual livro de cálculo seguir e adotar como referência. Consultando a biblioteca, você repara que alguns livros são gigantes, com muitas páginas, outros mais compactos e com páginas menores; alguns trazem várias figuras e cores e outros apresentam poucos gráficos e muitas equações. Às vezes aquele livro que mais te chamou a atenção não é o mesmo utilizado pelo professor.

O que fazer? Qual autor escolher? Afinal, qual é a diferença entre todas essas opções? Ou ainda, será que eu posso substituir um livro por um site na internet com bastante conteúdo? Embora essas perguntas sejam muito comuns, poucos professores se prestam a esclarecê-las na sala de aula. Esse direcionamento é fundamental para ter um bom aproveitamento na disciplina e é isso que vou apresentar nesse post – o “ecossistema” dos livros de cálculo, suas características principais, e qual deles você deve escolher como referência para os estudos!

Antes de tudo, uma curiosidade: por que existem tantos livros de cálculo?

Há duas razões principais que explicam por que há tantos livros de cálculo disponíveis nas bibliotecas e livrarias (eu consigo contar de cabeça pelo menos uns oito autores diferentes). A primeira é que os livros, por serem escritos geralmente por professores, acabam nascendo naturalmente como evolução das notas de aulas dos autores. O segundo motivo tem relação com o mercado editorial acadêmico. Vamos entrar mais a fundo nesses dois pontos abaixo:

Livros são filhos das apostilas e das lousas.

A maioria dos livros de cálculo renomados de hoje em dia foram concebidos num tempo em que era comum professores disponibilizarem apostilas próprias, notas de aula, para os alunos seguirem durante o curso. Essas notas costumavam ser mimeografadas ou xerocadas de um original, às vezes manuscrito, que continha explicações e exercícios propostos. Em alguns casos, as notas eventualmente tornavam-se apostilas, que por sua vez, eram enriquecidas, semestre após semestre, de acordo com o desenvolvimento das aulas.

Com ajuda de alunos e colaboradores, esses materiais acabavam sendo refinados e melhorados, e no momento em que o volume de informações contidas nas páginas chegava a um patamar que fazia sentido lançar tudo em livro, ou quando uma editora encomendava um livro com o professor, as apostilas eram editadas para se tornarem livro.

Como os livros já eram “adotados” antes mesmo de terem se tornado livros, isso era um indicativo de que o material possuía qualidade suficiente para atender a outras turmas.

Concorrência entre editoras

Atualmente existe um pequeno grupo de empresas e conglomerados editoriais que domina o mercado de livros didáticos e acadêmicos. A disputa pelo mercado se dá em diversos segmentos e temas, sendo um deles a área de exatas. Os livros de cálculo não ficam de fora.

Os maiores livros do mercado editorial americano foram traduzidos e publicados no Brasil para suprir a demanda crescente pelo material. O acesso à escola e às universidades no Brasil cresceu bastante dos anos 90 para cá, e, diante desse cenário, cada editora correu para adquirir direitos de publicação e concorrer na venda de livros.

Qual livro de cálculo devo escolher?

Por conta da pressão da concorrência entre as editoras, os livros de cálculo mais populares foram sofrendo adaptações de conteúdo, estilo e formato ao longo do tempo. Esse processo acabou por homogeneizar o conteúdo desses livros, e hoje já não há tantas diferenças entre os diversos títulos.

• A ordem dos assuntos acaba sendo muito parecida. 
• A quantidade de exercícios é similar, e os exercícios são bem parecidos entre si. 
• A faixa de preços é parecida, todos com custo elevado. 

No entanto, cada livro ainda conserva um pouco do direcionamento que seus autores deram nas primeiras edições, e vale a pena conferir o enfoque que cada um dá a determinados assuntos do cálculo. Alguns são mais indicados para os alunos que estão cursando engenharia, outros para quem está em matemática, física ou química, devido ao estilo de texto e de profundidade de explicação.

Vou listar abaixo as impressões que tenho sobre os principais livros de Cálculo 1 disponíveis no mercado, tentando mostrar tanto o lado positivo quanto o lado negativo de cada autor. Antes algumas ressalvas:

• A lista não visa esgotar todas as opções disponíveis no mercado 
• Eu não tenho filiação com nenhuma editora para fazer propaganda dos títulos, se eu recomendei ou não algum livro foi por preferência pessoal baseado na minha experiência 
• Geralmente os autores publicam dois ou mais volumes para cobrir Cálculo Diferencial e Integral em uma variável, Cálculo em Duas Variáveis, Séries e Sequências. O foco desse post é nos volumes que cobrem Cálculo de uma variável, comumente chamados de Cálculo 1. 
• Os links disponíveis para grandes livrarias são afiliados, ou seja, eu ganho uma comissão sobre cada venda resultante de cliques pelo blog. Se você encontrar utilidade sobre o que eu escrevi e quiser saber mais coisas sobre cálculo, física ou engenharia, considere comprar algum livro pelos links listados para me ajudar a continuar colocando artigos interessantes no blog. Obrigado! 

Cálculo - Volume 1 de James Stewart

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O livro de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável do James Stewart está em sua 7ª edição. A primeira edição data do final da década de 80. Bastante adotado nas disciplinas de Cálculo das faculdades brasileiras – principalmente nos cursos de engenharia –, ele não é visto com bons olhos por professores que prezam por maior rigor matemático. As demonstrações nos capítulos são simplificadas, e algumas vezes suprimidas, e não há tanta preocupação em mostrar o arcabouço lógico por trás dos assuntos. A ênfase é maior nas aplicações do Cálculo e no aprendizado dos métodos de derivação e integração.

Eu diria que é um livro razoável para o primeiro contato com o Cálculo, pois a quantidade e variedade de exercícios (principalmente os “exercícios quentes”) são suficientes para garantir ao menos o aprendizado da parte “mecânica”. A última edição traz um primeiro capítulo mais voltado ao entendimento de modelos matemáticos, uso de calculadoras gráficas, etc.. Isso é interessante para quem estuda engenharia, pois foge um pouco do convencional dos livros de Cálculo, que é apresentar uma revisão de aritmética, funções e gráficos no início do texto. Ponto positivo.

A falta de uma reflexão mais profunda sobre os conceitos matemáticos é um ponto negativo do Stewart, na minha humilde opinião. Alunos mais interessados vão achar o livro desestimulante, e alunos desmotivados provavelmente não vão se interessar pelo Cálculo somente com esse livro texto de referência. Eu acho que vale muito mais como uma segunda fonte de consulta, principalmente pela quantidade de exercícios.

Vejo muita gente adquirindo o livro por conta dos professores que geralmente o utilizam como base para as provas da matéria. Eu acho que vale a pena consultar os volumes disponíveis na biblioteca da faculdade e comprar outro livro como referência, se esse for mesmo o problema.

Cálculo com Geometria Analítica - Volume 1 de Louis Leithold

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O livro do Leithold, Cálculo com Geometria Analítica, é bastante similar em conteúdo ao livro do Stewart, no entanto é bem mais antigo – sua primeira edição foi lançada em 1968. Naturalmente segue uma apresentação do assunto mais clássica: inicia falando dos números reais, funções e gráficos, passa por limites, derivadas, máximos e mínimos, teorema do valor médio, entra em integrais indefinidas, integrais definidas, funções trigonométricas inversas, logarítmicas e hiperbólicas. No final apresenta sobre seções cônicas, séries de Taylor e formas indefinidas.

De modo geral, é um livro razoável também. Ele tem menos ladainha que o Stewart na apresentação dos conceitos, é direto ao ponto, mas do mesmo modo como o Stewart não se aprofunda nos assuntos. Como já é um livro veterano, peca pela falta de atualização nas aplicações, mas possui uma lista extensa de exercícios, o que é bom para praticar a “mão” no Cálculo.

Na faculdade peguei o Leithold poucas vezes e confesso que não me empolguei. É como se fosse um atleta que sempre fica nas posições intermediárias no ranking da competição – todo mundo sabe que tem alguém ocupando aquele lugar, mas ninguém dá muita bola para quem seja. Se fosse preciso consultar recorreria aos exemplares das bibliotecas, e recomendaria a compra se o preço estiver mais em conta que outros títulos.

Cálculo com Geometria Analítica - Volume 1 de George Finlay Simmons

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Um dos meus livros preferidos, o Cálculo com Geometria Analítica do Simmons, é um clássico. Ele segue a mesma linha de apresentação de conteúdo do Leithold, mas possui algumas diferenças substanciais: primeiro, ele introduz a ideia de limites de forma bem breve, sem dedicar um capítulo todo ao tema. Ele se justifica afirmando que, como o conceito de limites só auxilia o entendimento de derivadas e integrais, e o foco do Cálculo são as derivadas e integrais, logo não é preciso gastar tanto tempo se debruçando sobre as demonstrações de limites – melhor chegar logo no que interessa.

Depois o livro segue a sequência tradicional de apresentação dos tópicos que se encerra em apêndices e adendos bastante interessantes, e é aqui que eu vejo o maior ponto positivo do livro do Simmons: mesmo não trazendo tantas aplicações de Cálculo (seu uso nas engenharias, no contexto computacional atual, como o Stewart), os apêndices são fantásticos por si mesmos. São algumas breves páginas dedicadas ao aprofundamento dos conceitos principais do Cálculo e demonstrações alternativas de certos teoremas. Além disso, há uma seção dedicada a cada grande matemático que contribuiu com o corpo de conhecimento do cálculo ao longo de dois milênios, como Newton, Leibnitz, Arquimedes, Laplace, Euler, Gauss, Riemann, etc. É uma fonte rara de informação que não se encontra facilmente em outros livros, e que mesmo não sendo necessária para entendimento do cálculo, é bastante interessante para entender o contexto da época e como cada avanço teórico se deu dentro do quadro geral da matemática.

Em resumo é um livro muito bem balanceado e bem escrito. Perto dos outros já apresentados, é o que chega mais longe em termos de profundidade e abrangência, pois mesmo o que não está rigorosamente definido no texto é apresentado nos apêndices. Ele não deixa de ter alguns problemas, como a falta de aplicações (que acomete todo livro mais antigo e não atualizado, pelo que já devem ter percebido), mas foi o meu principal livro de referência quando estudei.

Certamente recomendado como referência para a sua biblioteca pessoal, mas costuma ser mais caro que os outros títulos.

Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1 do Henry Edwards e David Penney

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O livro de Cálculo do Edwards & Penney, perto dos outros apresentados, é bem mais sucinto, mas nem por isso deixa de ser uma ótima fonte de consulta. Segue a linha do Simmons em não fugir das demonstrações, e acompanha a distribuição natural dos tópicos. Eu gosto da ênfase nos conceitos geométricos que os autores colocam nas demonstrações.

Em minha opinião, o ponto positivo mais expressivo do livro do E&P são as notas de rodapé e projetos práticos em que os autores convidam o leitor a utilizar softwares matemáticos para resolver as certos problemas. Essas aplicações são interessantes e a parte prática está bastante alinhada com a necessidade atual de unificar os avanços tecnológicos na área da computação com o ensino das disciplinas clássicas do curriculum de exatas, incentivando o uso de softwares, como o Wolfram Mathematica, no apoio ao aprendizado.

O livro do E&P traz menos exercícios no fim dos capítulos do que os livros do Leithold e Stewart, no entanto os exercícios são em geral mais elaborados e exigem bastante raciocínio e reflexão. O problema com o livro de Cálculo do Edwards e Penney é que, por fugir um pouco da apresentação tradicional do assunto, acabou sendo pouco adotado nas faculdades, e portanto é difícil encontrá-lo por ai. Algumas bibliotecas devem possuir exemplares disponíveis, mas há muito não sai uma nova edição em português. Aguardemos.

Cálculo A de Diva Flemming e Miriam Gonçalves 

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Finalmente um livro de autoria nacional, o Cálculo A. Tive pouco de contato com ele na graduação, então não tenho muita propriedade para falar sobre suas características. De modo geral é um livro compacto, não foge do trinômio limite, derivadas e integrais, traz uma seleção de exercícios curta e o conteúdo segue os moldes tradicionais, sem muita inovação. Lembro-me de ter sentido falta de mais figuras para demonstrar conceitos e um pouco mais de clareza nas explicações, mas creio que esses detalhes tenham sido corrigidos nas edições posteriores.

O ponto positivo fica por ser nacional e geralmente ser o mais barato do que os concorrentes. Assim como os livros do Stewart e do Leithold, eu recomendaria como uma segunda fonte de consulta. Vale a pena comprar se o preço estiver em conta.

Um Curso de Cálculo - Volume 1 de Hamilton Luiz Guidorizzi 

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O Livro do Guidorizzi possui uma boa reputação entre os professores, mas é temido entre os calouros. Sua apresentação rigorosa dos teoremas de Cálculo aliado a uma apresentação de conteúdo que foge um pouco do tradicional é a receita certa para espantar os marinheiros de primeira viagem que desconhecem o seu teor.

Sejamos justos: o livro do Guidorizzi, perto dos títulos apresentados anteriormente, é bem mais complexo para uma primeira leitura, pois ele se aprofunda bastante nos assuntos, sendo necessário certa dose de maturidade para digerir o conteúdo. Mas o temor em relação a esse título não se justifica - os veteranos criam uma certa lenda em cima da dificuldade do livro que muitos calouros ficam predispostos a rejeitá-lo sem antes analisá-lo com a independência de sua própria massa encefálica.

Essa dose de maturidade que comentei só é alcançada no momento em que o aluno se esforça para superar o desafio de entender os pormenores do Cálculo, coisa que livros como o Stewart não oferece. Então nesse sentido eu recomendo o livro, mas sempre recorrendo aos outros títulos quando uma dificuldade surgir.

É um livro para matemático, então naturalmente não foca em aplicações práticas, mas mesmo assim é bastante cobrado em alguns cursos de engenharia pelo país também. Esses últimos não deveriam se assustar com seu conteúdo - que segue a forma tradicional, mas adianta alguns assuntos no meio do caminho, como equações diferenciais de primeira ordem, e foca na explicação profunda de assuntos como a Integral de Riemann -, pois, vencido esse desafio intelectual, aprender resistência dos materiais, mecânica dos fluidos ou física avançada fica muito, muito mais fácil.

Cálculo - Volume 1 de Tom Apostol 

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O livro do Apostol é um clássico, e divide com o Spivak o posto de um dos melhores livros de Cálculo em minha opinião. As explicações são claras e rigorosas, como no livro do Guidorizzi, não há omissão de demonstrações dos teoremas, mas nem por isso o autor se esquece de apresentar uma reflexão intuitiva e geométrica do Cálculo.

O livro segue a ordem de desenvolvimento histórico do Cálculo, e uma vez que você entende essa ideia, fica difícil não achar ruim a seleção dos tópicos dos outros livros: começa falando de integrais como o problema das áreas, naturalmente caí na ideia do limite para mostrar e formalizar que integrais são limites de uma soma (de Riemann), e só depois entra no problema das tangentes e relaciona a derivada com as integrais. Nós outros livros, as integrais surgem como o problema das "antiderivadas", um artifício didático que não faz qualquer sentido dentro do contexto de desenvolvimento do Cálculo na história.

Os exercícios variam dos simples aos desafiadores. É um livro completo: aprendendo por ele você aprende tudo o que precisa saber sobre Cálculo nesse nível de detalhe. Como o Guidorizzi, o nível de dificuldade é elevado, mas do mesmo modo estimula o amadurecimento lógico e matemático do leitor.

Cálculo - Michael Spivak 

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Dentre todos os livros do assunto no mundo, incluindo os títulos russos, o Cálculo do Spivak é o maior. Ele é intenso, discute aspectos do Cálculo que somente uma mente mais preparada pode absorver, entra em tópicos de Análise Real, retorna para as aplicações do Cálculo, destrincha um teorema de forma meticulosa e espera que o leitor faça o mesmo nos exercícios.

O intuito do Spivak foi escrever um livro que oferecesse um encontro real com a matemática, mostrando que o rigor e a formalidade pavimentam o caminho lógico a partir do qual um estudante pode compreender conceitos modernos da matemática contemporânea.  As explicações são muito, muito bem escritas.

Os exercícios são um caso à parte. Com otimismo conseguimos resolver alguns poucos enunciados dentro de horas, outros levam dias. O nível de dificuldade é tanto que esse livro deve ser lido com cuidado para evitar a frustração precoce com a matéria. Enquanto que nos outros livros é possível pular alguns capítulos, o próprio Spivak no prefácio recomenda que a leitura seja linear e sem saltos, pois cada capítulo contem conceitos e insights que são pré-requisitos para os próximos.

No fim das contas, é uma obra prima da matemática. Sugiro pelo menos abrir o livro uma vez na vida, somente para apreciar um texto escrito por quem tem domínio sobre o assunto e sobre a didática. Recomendadíssimo para os matemáticos e uma leitura enriquecedora para os físicos e engenheiros que querem se aprofundar mais em conceitos lógicos da matemática e do cálculo.

Finalizando

Ficou mais do que claro que há diversas opções de livros para se aprender Cálculo 1 e utilizar como referência. Essencialmente, todos os textos ensinam as mesmas coisas, exceto pelo rigor e profundidade que variam de acordo com o enfoque do autor.

Livros que preferem dedicar um maior tempo com exemplos, dando ênfase nas regras de manipulação algébrica do Cálculo, são geralmente voltados para cursos de Engenharia. Já os livros que reforçam a importância das demonstrações, a apresentação dos teoremas e as implicações teóricas são geralmente voltados para matemáticos e físicos. No entanto, tanto um grupo quanto o outro pode se beneficiar de toda essa bibliografia, independente do enfoque.

A principal dica que ofereço é nunca se prender a um único livro e sempre buscar fontes alternativas que discutam um mesmo conceito. Quando cursei cálculo em 2009, eu utilizava 2 livros para estudo, mas sempre trazia pelo menos mais um livro da biblioteca para complementar os meus estudos.

Hoje há também uma infinidade de recursos disponíveis online para as pessoas que preferem estudar pela tela do monitor. No YouTube há diversos canais oferecendo video-aulas gratuitas, como o Khan Academy (em inglês) e o "Me Salva" (em português). Um site bom com um conteúdo equivalente ao de um livro é o Paul's Online Math Notes, por exemplo. A USP disponibiliza um portal de Cálculo chamado eCalculo, com bastante coisa interessante também.

Se você leu o post todo até aqui, fica aqui o meu muito obrigado e espero que você tenha bastante sucesso nos estudos. O Cálculo é a porta de entrada para um vasto universo de conhecimento e indispensável para compreender os avanços científicos desde o século XIX até os dias atuais. Nem sempre a jornada é fácil, mas com calma e dedicação todo mundo pode chegar lá - sempre com a ajuda de um livro, é claro!

Qualquer dúvida, sugestão ou ideia - por favor deixe um comentário! Ficarei feliz em receber sua mensagem e responderei o mais rápido possível. Obrigado!!

O que é transformação linear?

Vamos iniciar a série sobre transformações lineares respondendo exatamente a pergunta "O que é uma transformação linear?"

Não pretendo seguir uma formalidade e nem mesmo gastar muito tempo revisando o texto. Eu diria que 50% do que escrevo vem da cabeça, de coisas que eu já estudei, e nos outros 50% sigo o livro do Hoffman de Álgebra Linear. Então se houver algum erro corrijam-me por favor.

Se você procurar nos livros a definição, é provável que encontre algo mais ou menos nessa linha como no livro do Hoffman:

Seja $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre o corpo $F$. Uma transformação linear de $V$ em $W$ é uma função $T$ que leva vetores de $V$ em $W$ de tal forma que:

$T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$ e $T(av_1)=aT(v_1)$

para todo $v_1$ e $v_2$ em $V$ e todo $a \in F$.

Talvez seja essa a definição mais genérica possível, pois nem mesmo o corpo é explicitado. Em geral, o corpo dos números reais é o mais comumente utilizado, enquanto que na física, física matemática e certas aplicações de engenharia pode-se utilizar os corpo dos números complexos. Para saber mais sobre o que é um corpo, veja http://pt.wikipedia.org/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica).

Mas como traduzir essa formalidade para o terreno humano?

Veja então que uma transformação linear é necessariamente uma regra, isto é, uma função, que obedece as condições supracitadas, não necessariamente separadas. Pode-se ter da mesma forma uma transformação linear com a seguinte cara: $T(v_1+ a v_2) = T(v_1) + a T(v_2)$.

O fato da definição ser genérica pode dificultar nosso entendimento, mas vamos recorrer a alguns exemplos algébricos:

Seja $V$ e $W$ qualquer espaço vetorial. A transformação linear que leva um vetor nele mesmo é chamada transformação identidade e tem a seguinte forma: $Iv=v$ (a notação muitas vezes depende do autor, alguns usam parênteses, outros não... eu costumo utilizar quando quero dar alguma ênfase).

Há também a transformação nula, isto é, $0v=0$. Para verificar que são transformações lineares, basta verificar que:

1. $I(v_1+v_2) = I(v_1)+I(v_2) = v_1 + v_2$, pois $I(v_1)=v_1$ e $I(v_2)=v_2$ por definição da transformação identidade. De mesmo modo, $I(av_1) = a I(v_1) = a v_1$.
2. $0(v_1+v_2)=0(v_1)+0(v_2)=0+0=0$. De mesmo modo $0(a v_1)=a 0(v_1)= a 0=0$.

Repare também que pela definição qualquer transformação linear do elemento neutro 0 resulta necessariamente no próprio elemento neutro, ou seja: $T(0) = 0$, pois $T(0) = T(0+0) = T(0) + T(0)$. Se $T(0)=T(0)+T(0)$, ao subtrair $T(0)$ dos dois lados chega-se em $T(0)=0$.

Devido a essa última propriedade, que pode ser enunciada como "qualquer transformação linear leva necessariamente o zero ao zero", pode haver uma certa confusão entre as transformações lineares e as funções lineares. As funções lineares podem ser vistas como retas no plano, mas as únicas funções lineares (retas no plano) que são também transformações lineares (no sentido que estamos justamente explicando) são aquelas que passam pela origem, pois toda transformação linear deve obedecer $T(0)=0$.

Para entender melhor, imagine duas funções $f(x)=2x$ e $g(x)=2x+3$. De fato, para uma escolha genérica de $x_1$ e $x_2$ :

Da definição da função $f(x_1+x_2)=2(x_1+x_2)$, mas pela propriedade da transformação linear $f(x_1+x_2) = f(x_1) + f(x_2) = 2 x_1 + 2 x_2 = 2(x_1+x_2)$. Logo, $f(x)$ é, além de função linear, uma transformação linear, pois $f(0)=0$.

Agora repare que $g(x_1+x_2)=2(x_1+x_2)+3$, mas $g(x_1) + g(x_2) = 2x_1 + 2x_2 + 6 \neq g(x_1+x_2)$, logo, $g(x)$ não é transformação linear, embora seja uma função linear.

Saindo um pouco da álgebra, é interessante pensar nas transformações lineares em termos geométricos. Sugiro ao leitor que consulte algum livro de álgebra linear para verificar as transformações lineares no plano: contração, dilatação, rotação, reflexão, cisalhamento horizontal, cisalhamento vertical, etc... Na figura de uma manipulação que programei no Mathematica, seguem alguns exemplos. O quadro da esquerda é o vetor original, o quadro da direita o vetor transformado:

 
Este foi o primeiro post da série de álgebra linear. Fique ligado nos próximos. Se houver qualquer dúvida, envie um comentário.

Abraços

Pringles - Tutorial Mathematica Parte 2

Olá pessoal,

Depois de um bom tempo parado volto a postar neste nosso espaço. Pretendo escrever um pouco mais durante essas férias.

Como prometido, retomarei o primeiro post sobre como desenhar a batata Pringles no software Mathematica. Neste último mostrei como fiz para encontrar a equação e o domínio adequado para se chegar no formato da batata. Em suma, a partir da conhecida função sela generalizada ($z=a x^2- b y^2$, da qual variei os parâmetros $a$ e $b$) cheguei numa curva parecida com a da batatinha. Em seguida, tive que ajustar o domínio, pois toda vez que desenhamos alguma coisa no Mathematica, e em geral qualquer software de manipulação matemática, ele assume o domínio como sendo quadrado, o que não é o que eu desejava. Então para encontrar o domínio ideal tive que olhar a batata "por cima" e imaginar qual a melhor curva que se ajustava ao contorno observado. Pensei numa elipse e, da mesma maneira como a função de sela, fui variando os coeficientes e os expoentes da equação da elipse generalizada para obter um contorno satisfatório. Com o domínio e a curva definida, bastou combiná-los para obter uma boa aproximação da batatinha:

Agora, vamos ver como adicionar textura ao gráfico acima para que ele se torne uma batata. A nossa sorte é que ficou muito fácil manipular imagens e integrá-las aos objetos na última versão do Mathematica (8.0).

Para modificar o estilo de um gráfico, isto é, a maneira como ele vai ser desenhado, precisamos utilizar a instrução (directive em inglês) PlotStyle. Se não estou enganado todos os gráficos gerados pelo software aceitam a instrução PlotStyle como argumento. Quando não se menciona o PlotStyle ao desenhar algum gráfico, o Mathematica assume certos valores padrões, como a cor roxa em funções de uma variável, uma determinada espessura, etc.

Abaixo um exemplo de como se escreve o comando para se ter uma ideia de como a coisa funciona e algumas de suas opções:

Veja que num único comando Plot agrupei entre chaves três funções diferentes para serem desenhadas ($y=x$, $y=x^2$ e $y=x+1$), e para cada função determinei opções diferentes dentro do PlotStyle. A sintaxe segue a seguinte lógica: PlotStyle -> { {opções da função 1},{opções da função 2},{opções da função 3} }. Para a função 1, $y=x$, escolhi as opções Thick e Orange. Thick faz a linha do gráfico ficar mais grossa e Orange faz a linha ficar laranja. Na segunda função, usei Red para a cor vermelha e Dashed para a linha ficar tracejada. Na última função usei Blue para a cor azul e Thickness[0.03] - o Thickness funciona como o Thick, mas permite que você determine um valor para a espessura da linha a ser desenhada dentro dos colchetes.

Pois bem, entendido como o PlotStyle governa as características de estilo de um gráfico, seguimos adiante para verificar como o Mathematica trabalha com texturas.

Para gráficos gerados por comandos do tipo Plot (Plot, Plot3D, ContourPlot, ParametricPlot, etc.), para inserir uma textura basta adicionar a instrução Texture[nome da textura, variável da textura, etc] como argumento do PlotStyle. No entanto, se você testar este comando para diversos tipos de gráficos e funções, você vai reparar que a textura não se encaixa muito bem ao gráfico, muitas vezes aparece distorcida, etc.
Já gráficos gerados pelos comandos primitivos de Polygon, Rectangle, etc, não aceitam somente Texture[] como instrução (do próprio comando Graphics ou Graphics3D, não do PlotStyle), é preciso de algo mais para que a textura seja aplicada (o comando Disk, por exemplo, nem mesmo admite textura).

Em ambos os casos, a questão por trás dos problemas está ligada ao software não "saber" como posicionar a textura em relação à superfície. É preciso então "dizer" para a linha de comando de que maneira aquela textura deve ser colocada sobre a superfície - e essa maneira está ligada às coordenadas do gráfico. Estudemos alguns exemplos:

Neste exemplo, a textura foi aplicada num polígono. A ordem de cada instrução não é intuitiva, e muitas vezes deve-se recorrer ao help (tecla F1) para entender os detalhes de cada comando. Mesmo assim, vemos que o argumento da instrução Texture foi uma imagem qualquer (você pode, por exemplo dar ctrl+c numa figura da internet e ctrl+v no notebook do Mathematica). O interessante está na capacidade do software aceitar como argumento uma imagem assim, sem mais nem menos. Seguido da textura, o triângulo é definido pelo comando Polygon, cujos argumentos são as coordenadas dos vértices do triângulo. Após determinado as coordenadas do objeto, vamos ter que determinar como a textura vai ser posicionada, e isso é feito, como dito acima, relacionando as próprias coordenadas do triângulo. No caso, as coordenadas utilizadas no comando VertexTextureCoordinates são as mesmas do que o do triângulo, o que indica, a grosso modo, que a sua textura foi "cortada" exatamente no formato do triângulo. Se as coordenadas de entrada do comando VertexTextureCoordinates fossem multiplicadas por 10, por exemplo, então esse triângulo de textura que vemos acima seria repetido diversas vezes dentro do triângulo original.

Utilizando mais imagens e menos texto, veremos como se aplica textura a uma superfície gerada por comandos como o Plot3D, por exemplo:

Em um gráfico 3D, há mais de uma opção para nele fixarmos a textura. A primeira dela é a mais simples, basta prosseguir mais ou menos como no caso anterior, colocando a instrução Texture dentro da PlotStyle. Note entretanto que dessa maneira você não tem controle sobre como a textura é posicionada sobre o gráfico, ou seja, o programa utiliza um padrão interno. Já com o comando TextureCoordinateFunction, é possível determinar de que maneira a textura é colocada em função das variáveis, que são expressas como: #1 = x, #2 = y, #3 = u, #4 = v, sendo que u e v são variáveis paramétricas genéricas (podem ser $r$ e $\theta$ numa parametrização polar, por exemplo). Veja as mudanças que fiz nessas variáveis nos gráficos acima. É possível até colocar valores elevados ao quadrado, também a soma ou subtração, #1+#2, por exemplo. Não entrarei em muitos detalhes pois o post já está extenso, mas se tiver interesse busque modificar os parâmetros por conta e ver os efeitos dessas mudanças - o melhor jeito de aprender é você mesmo manipulando as coisas.

Pois bem, entendido mais ou menos como se coloca textura sobre um gráfico no Mathematica, bastou então pegar uma figura na internet que representasse bem a superfície da batatinha e utilizá-la como textura para o gráfico que encontramos no post anterior.

E está ai a nossa batata Pringles desenhada via equações algébricas e um pouco de malabarismo computacional. Bacana não? Se é verdade que a natureza pode ser descrita através da matemática, imagina toda a trabalheira que isso deve ter dado para o programador universal?

Espero que tenham gostado e aprendido com este post. Com um pouco de criatividade, dá pra se fazer muitas outras coisas com as ferramentas que mostrei. Por exemplo, desenhei a bandeira do Brasil balançando ao vento utilizando texturas enquanto escrevia esta segunda parte:

No próximo post, vou falar de funções lineares entre espaços vetoriais, as chamadas transformações lineares.

Pringles - Tutorial Mathematica Parte 1

Parte 2 disponível em: Pringles Tutorial Parte 2

Gosto de ler livros de divulgação científica. Eles são geralmente interessantes, simples de acompanhar e conseguem despertar curiosidade sobre temas que, normalmente e fora de contexto, não chamariam a atenção. No entanto, o próprio fato de um livro ter como tema a divulgação científica traz em si mesmo o problema de conter maneirismos, simplificações e exacerbações inconsequentes, naturais em qualquer leitura através da qual o autor pretende cativar seu leitor apresentando um assunto cujo público em geral desconhece. Em especial, os livros de divulgação matemática romantizam a dita cuja a tal ponto que, ao final da leitura, somos levados a vê-la como Neo vê a Matrix depois de descobrir que é o escolhido após o beijo ressucitador de Trinity, em que ele pára as balas dos agentes com as mãos e depois desce a porrada nos infelizes

A visão de Neo da Matrix, após a revelação de Trinity.

Ou seja, para o autor do texto de divulgação, tudo são números e a matemática é a arquiteta desse embaralhamento responsável por contectar a realidade com o abstrato. A visão é justificável: a matemática tem, dentro de suas letras e números, uma beleza e essa beleza poderia refletir a harmonia das coisas do nosso mundo; mas isso não quer dizer que seja necessariamente assim. É possível, entretanto, ver que a matemática está de fato em certas coisas do nosso dia-a-dia, como na batata Pringles, por exemplo:

$z=x^2+y^2$, vulgarmente conhecido como Batata Pringles

Ora, o leitor deve pensar que eu sou louco, mas na verdade não sou. Quem já comeu um delicioso e salgado $z=x^2+y^2$ sabe a sensação, principalmente com uma Coca ou cerveja gelada! Não há coisa melhor. Vou provar que de fato esse alimento é matemática pura. Vamos lá:

Relembre do Cálculo a seguinte ideia. Se $f(x,y)$ é uma função de duas variáveis, existe duas maneiras de visualizá-la. A primeira é no espaço tridimensional, rebatendo o valor de $f(x,y)$ no eixo z. Formalmente, $z=f(x,y)$ e temos um gráfico. A segunda opção é analisar o comportamento da função através de suas curvas de nível, assim, o que se faz é fixar um valor que a função pode assumir, $k$ por exemplo, e desenhar o resultado $f(x,y)=k$. Note que dessa vez o gráfico é bidimensional, pois ao fixar um valor para a função trabalhamos só com dois parâmetros $(x,y)$ e não $(x,y,f(x,y))$. Neste caso, as curvas de nível são vistas como fatias paralelas ao plano xy do gráfico de três variáveis. Por exemplo, a função $f(x,y)=x^2+y^2$ é um parabolóide. As fatias, $f(x,y)=k$, paralelas ao plano xy são círculos de raio $\sqrt{k}$.

Veja que eu fiz um desenho do paraboloide e de sua "sombra". Com a primeira linha eu guardei na variável a o desenho do parabolóide com o comando ContourPlot3D, na segunda linha desenhei parametricamente o que seriam as curvas de nível do parabolóide através do ParametricPlot3D (usando z=0) e fiz a composição das duas imagens com o comando Show.

Na imagem acima, aquilo que está como sombra do parabolóide são várias curvas de nível de $f(x,y)=k$, uma para cada valor de $k$, que no caso da figura escolhi variar de 0 até 1 (tanto {z,0,1} na linha a como {r,0,1} na linha b).

Essas são de fato as curvas de nível que citei acima. Veja que quanto mais escuro, menor é o valor que f(x,y) assume, ou seja, menor é o k e estamos fatiando paralelamente o parabolóide mais perto do plano xy. É como você estivesse olhando o parabolóide de cima para a baixo com a cabeça dentro dele.

Bem, agora que você já deve ter relembrado, a mesma ideia vale para mais dimensões. Se você tem uma função de três variáveis, $f(x,y,z)$, o seu gráfico é quadridimensional pois, analogamente, você dá $(x,y,z)$, calcula $f(x,y,z)$ e rebate $f(x,y,z)$ num quarto eixo $w$. Como é impossível enxergar isso, pois não temos quatro olhos (!), nossa saída é apelar para as curvas de nível de f, pois essas sim podem ser vistas, já que são tridimensionais, nesse caso. (Repare que de modo geral, uma função de n variáveis tem seu gráfico com dimensão (n+1) e curva de nível n-dimensional).

Legal. Vou mostrar então, voltando ao assunto principal do post, como desenhar a Batata Pringles no Mathematica. Para isso vamos utilizar a função $f(x,y,z)=z-x^2-y^2$ e assumir que a Batata Pringles é na verdade a curva de nível de $f$ quando $f(x,y,z)=0$ só para ficar mais chique! Eu poderia desenhar ela como um gráfico de uma função de duas variáveis, mas por questão de comodidade vou mostrar de outra maneira para explorar o comando ContourPlot3D do software.

Primeiro, desenhamos sem qualquer preocupação a curva de nível da função.

Veja que o comando ContourPlot3D exige que determinemos o domínio sobre o qual a função será desenhada. Nos dois casos escolhi entre -1 e 1 para as três variáveis. Outro ponto importante é que o Mathemática entende o = como ==. No segundo gráfico, adicionei certos comandos que "limpam" o desenho. Mesh->None retira o desenho da malha do primeiro gráfico, deixando um aspecto mais liso. Já o comando Boxed->False retira a caixa do desenho e Axes->False os eixos. Embora sem as caixas e eixos perdemos a referência, o desenho fica mais limpo. É o que queremos nesse caso.

Repare que a função desenhada ainda não está com cara de Pringles. Isso se deve à curvatura acentuada e dessas pontas. Quanto ao primeiro problema, vamos ter que mexer na cara da função. Quanto ao segundo, vamos ter que acertar o domínio. Neste caso, é como se desenhassemos numa folha de papel um desenho com aspecto circular e estivessemos só interessado no que está desenhado no centro da folha. Se com uma tesoura, cortamos a região no formato de um quadrado, vamos acabar com pontas, estragando de certa forma tal aspecto circular.

Para resolver ambas as questões, vamos ter que escolher um domínio (isto é, o formato da região em que vamos estudar a função) sobre o qual a função, quando for desenhada, adquira a "cara" da batata Pringles. Para isso, um chute inicial seria um domínio com formato de elipse:

Novamente utilizei o comando ContourPlot (mas dessa vez para desenhar no plano, e não no 3D como no ContourPlot3D) para visualizar o que seria um chute para o domínio da Pringles. Eu poderia ter desenhado a mesma coisa com o comando Plot ou através do ParametricPlot. O resultado seria o mesmo, mas os meios utilizados seriam diferentes. Um esclarecimento: O AspectRatio é um comando que coordena a razão entre altura e largura da imagem. Neste caso, eu coloque 4/2 que é a razão real Altura/Largura do desenho (isso eu vejo pelo domínio). O mathematica decide, automaticamente se você não especificar, qual o AspectRatio dos gráficos para que o desenho "caiba na tela" ou que mantenha a razão de aspecto próxima de 1/fi (o número de ouro). Isso quer dizer que muitas vezes o desenho vai sair distorcido (uma elipse sai redonda, se você não especificar, por exemplo). Qualquer dúvida perguntem-me.

Veja que a elipse com semi-eixo maior igual a 2 não representa bem o formato da Batata, cujo formato oval é menos acentuado que este. Como ajustar? Mudar o tamanho dos semi-eixos não seria uma boa, pois no fim a estrutura oval quase sempre fica acentuada. É preciso de "menos pontas" para o desenho ficar próximo ao da Pringles. Para isso, olhe para a figura acima e imagine comigo: coloque-se no ponto x=0 e y=2, no bico de cima da curva. O ideal seria que, andando sobre a cuva para a direita, a queda fosse menos brusca. Em termos de equação, para que a queda seja mais suave o valor que y deve assumir quando x é pequeno deve ser maior do que o atual. Assim, com um pouco de quebra-cabeça e brincadeira com a função, devemos elevar alguma potência da equação da elipse a um número par maior do que 2. Neste primeiro caso, tentamos 4:

Neste caso tive que mudar o domínio (x de -2 a 2 e y de -3 a 3) mas mantive a razão de aspecto real de acordo com o domínio, 6/4.

Repare que ao invés de $(\frac{y}{2})^2$, utilizar $(\frac{y}{2})^4$ realmente gerou o resultado que esperávamos, de suavizar as bordas acentuadas da elipse anterior. Mesmo assim, as batatas Pringles não são tão "gordas" como neste formato, o que fazer então? Desta vez não vou mudar na equação, mas vou explorar o AspectRatio. Como ele é a razão da Altura/Largura, se eu quero diminuir a largura, basta aumentar a razão de aspecto. Assim, se 6/4 = 1.5, testei o mesmo gráfico com 1.7:

Legal! É exatamente esse o formato que eu procurava. Só que ainda tenhoum problema. Quando eu utilizar a função da "elipse" no domínio, $x^2 + (\frac{y}{2})^4 =3$, para desenhar a batata em 3D, o Mathematica vai automaticamente colocar, como padrão, AspectRatio = 1, ou seja, vai destorcer o desenho.  Assim, para "burlar" o programa basta multiplicar a coordenada x por 1.7:

Agora estou pronto para dar vida a nossa Pringles. Primeiro, retomamos a primeira tentativa de desenho da batata mas agora colocamos o comando RegionFunction->Function[{x,y}, $0\leq (1,7)x^2 + (\frac{y}{2})^4 \leq 3$] que especifica o nosso domínio. Foi para isso que fizemos todo esse trabalho acima.

Usei o mesmo comando do primeiro desenho, mas tive que mudar o domínio para a "elipse" delimitar a região corretamente. Isto é, eu tive que usar tanto para x como para y o mesmo domínio que utilizei no último desenho da elipse. Depois escolhi o domínio de z para o desenho ficar certinho, sem cortes.

Isto definitivamente não tem o formato de nossa batata. Qual o problema então? Já ajustamos o domínio e sua região. Resta-nos brincar com a própria função $z=x^2-y^2$. Quando eu digo brincar, a ideia é mudar os valores dos coeficientes que acompanham as variáves, aumentar os expoentes, até que se chegue a um resultado satisfatório. Embora pareça um chutômetro, com o tempo e prática é possível intuir sobre algumas mudanças de forma exata e sem titubeações. Os coeficientes que encontrei foram 2 para x e 0.3 para y, de modo que o desenho da função ficou:

Agora sim! Era esse o formato que eu queria!!

Bem amigos, vou ficar por aqui, acho que já é o bastante para esse post.

No parte 2, vamos ver como inserir texturas no Mathematica e fazer com que o desenho fique definitivamente parecido com uma batata. A prévia do resultado final:

Olá, sou uma Pringles digital e não o bico de algum dos superpatos!

Abraços!!

Máximos e Mínimos com Multiplicadores de Lagrange 2

Por conta da faculdade, estive algum tempo longe do blog mas não deixei de responder as dúvidas que eventualmente surgiam. Nesse periodo, comecei a pesquisar assuntos para escrever e acabei decidindo por falar novamente de Multiplicadores de Lagrange, pois esse foi um dos posts mais acessados do blog (Link aqui). O engraçado é que hoje esse post completa exatamente 1 ano, mas não por isso escolhi o mesmo tema. Enfim. Parabéns para o blog!

Hoje vamos resolver um exercício de máximos e mínimos simples que eu tirei do enunciado de uma prova do MIT (ocw.mit.edu) e que deve ter sido tirado de algum livro padrão (Stewart, Simmons). Dessa vez a resolução vai ser feita do modo convencional a partir do sistema não linear decorrente da equação que relaciona o gradiente da função e o gradiente da restrição. Vamos utilizar o Mathematica para visualizar a situação descrita pelo enunciado e entender o que se passa.

O exercíco em questão tem o seguinte enunciado:

Quais são os valores máximos e mínimos global da função $f(x,y,z)=xyz$ sobre a superfície elipsoidal de equação $2x^2+2y^2+z^2=2$.

Identificamos que a função a ser maximizada é $f(x,y,z)=xyz$ e a restrição do problema é a superfície elipsoidal $2x^2+2y^2+z^2=2$. Essa equação de elipsóide não está na forma canônica $\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 + \left(\dfrac{z}{c}\right)^2 = 1$. A forma canônica do elipsóide se reduz a uma equação de esfera quando $a=b=c=k$ e isso é intuitivo, pois como os valores de a,b e c determinam os alongamentos dos eixos do elipsoide na direção x, y e z, quando o alongamento é igual nas três direções, não se pode obter outra coisa senão a própria esfera.

Está ai a bola de futebol americano do enunciado!

Uma ideia interessante é tentar observar o que se passa através do enunciado. A função xyz está distribuida por todo espaço, ela é um tanto quanto problemática para valores pequenos de x y e z (por que?) mas é possível deduzir que ela vai cortar esse elipsóide algumas vezes e devemos determinar em quais pontos desse corte f(x,y,z) vai ter seu valor máximo.

Pois bem, esse exercício, diferentemente daquele que expliquei no primeiro post sobre Lagrange, possui somente uma restrição. Assim, o método dos multiplicadores nos diz que os pontos de máximo ou mínimo ocorrem quando o sistema

$\nabla f(x,y,z) = \lambda\nabla g(x,y,z)$

$g(x,y,z)=0$

É satisfeito. Lembramos que a primeira linha representa uma equação vetorial que dá origem a 3 equações escalares e a restrição deve ser reescrita como uma função escalar do $\mathbb{R}^3$, $g(x,y,z)=2x^2+2y^2+z^2=2$ e a condição $g(x,y,z)=0$ é a curva de nível que equivale à equação original.

Várias curvas de nível de g(x,y,z)

Expandindo as equações, chegamos em:

$yz = \lambda 4x$

$xz = \lambda 4y$

$xy = \lambda 2z$

$2x^2+2y^2+z^2-2=0$ 

Esse sistema é não linear com quatro variáveis e quatro equações. Para resolvê-lo, existe uma estratégia que quase sempre funciona quando caímos nessas equações pelo método de Lagrange.

A ideia é multiplicar a primeira linha por x e a segunda por y. Dessa forma, obtemos:

$xyz=\lambda 4x^2$

$xyz=\lambda 4y^2$

Dessa duas equações, chega-se em $\lambda 4x^2 = \lambda 4y^2$. A tentação de "cortar" tudo é muito grande, mas devemos ser cautelosos. Ao inves disso, reescrevemos $4\lambda(x^2-y^2)=0$. Essa equação é satisfeita se $\lambda = 0$ ou se $x^2=y^2$.

Analisando o caso que $\lambda=0$, caímos em $xy=0$, $xz=0$, $zy=0$. Isso implica que pelo menos duas variáveis são nulas e a terceira pode não ser. Supondo que $x=0$ e $y\neq 0$, vemos por eliminação que $z=0$. Assim, colocando esses valores na restrição $2(0)^2+2y^2+(0)^2-2=0$ determinamos $y=\pm 1$. Sumarizando, se $\lambda =0$ obtemos os pontos extremos $(0,0,\pm 1)$. Assim, $f(0,0,\pm 1)=0$. De forma geral, se $\lambda =0$, qualquer permutação do ponto $(0,0,\pm 1)$ é um ponto extremo.

Agora analisando o caso $x^2=y^2$, isto implica que $x=\pm y$. Supondo que $x=y$, por enquanto, vemos que da primeira equação chegamos em $z=4\lambda$ e pela terceira equação $x^2=2\lambda z$. Juntando esses dois casos, chegamos na relação $x^2 = \dfrac{z^2}{2}$. Substituíndo essa condição na restrição, chegamos em: $3z^2=2\Rightarrow z=\sqrt{\frac{2}{3}}$. Voltando com esse valor de z chegamos em $x=y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. O valor da função neste ponto é $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)=\dfrac{\sqrt{6}}{9}$. Como o valor de f neste ponto é maior que o ponto encontrado anteriormente pela condição $\lambda = 0$, concluí-se que este é um máximo global. Supondo que $x=-y$, chega-se nos mesmos resultados exceto pelo sinal de y, o que resulta num valor da função de: $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)=-\dfrac{\sqrt{6}}{9}$ que é o mínimo global.

Na figura vemos nosso elipsóide em azul e as curvas de nível da função f(x,y,z) com os dois pontos, um máximo e outro mínimo. Essas superfícies que parecem "cebolas invertidas" são as curvas de nível de f, ou seja, quando $xyz=K& onde K é uma constante qualquer. O elipsóide intersecciona a funçaõ f diversas vezes, porém, somente nos pontos em que encontramos acima é que f assume seu valor máximo.

Espero que a explicação do exercício tenha ficado clara. Um abraço a todos! Parabéns ao nosso post de Lagrange.

Álgebra Linear: Matrizes com Mathematica

O ano letivo está para começar e eu preciso escrever sobre os tópicos de álgebra linear e geometria analítica. A promessa de escrever sobre Taylor em duas variáveis vai ficar para as férias do meio do ano, pois assim fica um suplemento pro pessoal de agora que irá fazer cálculo 2 no semestre que vem.

Esse post vai falar um pouco sobre operações elementares em matrizes e alguns teoremas que decorrem dessas operações. Utilizarei conceitos como combinação linear, mas não vou explicá-los no decorrer do assunto. Além disso, concomitante com a teoria, darei exemplos utilizando o software Mathematica. É um bom conselho começar a utilizar esses softwares, pois serão de grande ajuda no futuro.

Bem, continuarei a falar de matrizes, mas dessa vez sem recorrer ao uso de determinantes. A rigor, é possível deduzir grande parte dos resultados de sistem através de operações elementares, matrizes linha equivalentes, etc, sem determinantes, e hoje veremos um pouco sobre isso (estou assumindo que o corpo é dos reais, mas isso não vem ao caso agora) com mais formalidade, mas tentando manter o lado intuitivo do negócio.

Primeiros vamos definir quais são as operações elementares permitidas numa matriz $A$ qualquer, $m\,x\,n$.

1. multiplicação de uma linha por um escalar $c\neq 0$.
2. troca da linha $i$ pela linha $i$  mais $c$ vezes a linha $s$, com  $c\neq 0$ e $i\neq s$.
3. troca de linhas de $A$.

Essas são as regras do jogo. O leitor deve ter visto que o determinante de uma matriz não muda quando realizamos esse tipo de operação. Vamos ver algo um pouco mais interessante do que isso.

Definição: Sejam $A$ e $B$ duas matrizes $m\,x\,n$. Dizemos que $B$ é linha equivalente a $A$ se $B$ pode ser obtida de $A$ por uma sequência finita de operações elementares.

Só para exemplificar, no Mathematica, definimos um vetor como uma lista de números entre chaves. Uma matriz é uma lista de vetores (horizontais).

In[número] quer dizer que essa linha foi nossa entrada de número x. No caso, linha1,2,3 são os nomes que eu escolhi e referem-se às linhas da matriz que foi definida como sendo uma lista de listas logo abaixo, em matriz:={linha1,linha2,linha3}. Quem está acostumado com programação entende que eu defini minhas variáveis (as linhas das matrizes) e as chamei em outro comando. O mathematica se encarrega de trocar, sempre que ver linha1, por {2,6,5}, e assim por diante.

Bem, fazendo uma operação elementar:

Eu chego na nova matriz

Cuja linha 1 foi dividida por 2. Essa matriz é linha equivalente a matriz inicial, por nossa definição.

Existe um teorema que diz que se $A$ e $B$ são linha equivalentes, então os sistemas lineares homogêneos $Ax=0$ e $Bx=0$ possuem a mesma solução. A prova desse teorema não é tão complicada, basta estudar alguns casos simples. Por exemplo, todo mundo sabe que num sistema 2x2, somar uma equação à outra não traz nenhuma nova informação para o sistema original, de modo que a solução se mantém. Do mesmo modo, podemos aplicar a operação inversa na matriz (nova) e voltar a original, e isso de novo não muda a solução. Como em geral o número operações elementares para sair de $A$ e chegar a $B$ é arbitrário, basta mostrar que a solução se mantém para uma operação, que estará demonstrado para todas as outras.

A força das operações elementares é que podemos deixar a matriz mais simples, com zeros e uns para simplificar as coisas subsequentes.

Definição: Uma matriz $A$ é chamada linha reduzida se:

• a primeira entrada não-nula de cada linha não-nula é 1.
• cada coluna de A, que contém a primeira entrada não-nula de uma linha, possui todas as outras entradas nulas (ufa!)

Leia com calma as definições e veja um exemplo abaixo

Essa matriz é linha reduzida pois a primeira entrada de cada linha é 1 e os outros elementos das colunas (que começam o 1) são todos nulos.

Um teorema garante que toda matriz é linha equivalente a uma matriz linha reduzida, o que quer dizer que é sempre possível através de um número finito de operações deixar uma matriz na forma linha reduzida.


Definição: Uma matriz $R$ está na forma escada se:

• $R$ é linha reduzida
• toda linha completamente nula ocorre abaixo de uma linha que possuí entradas não-nulas.
• se as linhas $1,2,\ldots,r$ são não-nulas e se as entradas não-nulas de cada linha $i$ ocorrem na coluna $k_i$, com $i=1,2,\ldots,r$, então $k_1<\ldots

As duas primeiras são fáceis de entender, a última requer mais pensamento mas é simples - ela estabelece que as ordem das colunas deve obedecer à ordem das entradas não nulas. Ou seja, a linha que possuí 1 na primeira coluna, deve ser também a primeira linha. A linha que possuí 1 na segunda coluna, deve ser a segunda linha, e assim por diante. Um exemplo de matriz na forma escada é a identidade. Também é a anterior, se trocármos as linhas 2 com 3.

Segue imediatamente que toda matriz é linha equivalente a uma matriz na forma escada. Pois se toda matriz é equivalente a uma matriz linha reduzida, basta mais algumas operações para deixá-la na forma escada.

Teorema: Se $A$ é quadrada $n\,x\,n$, então $A$ é linha equivalente a $I_n$ (identidade de ordem $n\,x\,n$) se e somente se o sistema $Ax=0$ admitir somente a solução trivial.

Prova: se $A$ é linha equivalente a $I$ então $Ax=0$ e $Ix=0$ possuem as mesmas soluções. Como é claro que $Ix=0$ só admite solução trivial, então $Ax=0$ também só admite solução trivial. Para a recíproca, supomos que $Ax=0$ tenha solução trivial. Seja $R$ a matriz escada $n\,x\,n$ linha equivalente a $A$ e $r$ o número de linhas não-nulas de $R$. Como $Rx=0$ deve possuir solução trivial (pois é linha equivalente a $A$), é necessário que $r\geq n$. Mas como $R$ tem $n$ linhas, devemos ter $r\leq n$, de onde segue que $r = n$. Como $R$ é forma escada, e pelas condições impostas, $R = I$.

Esse teorema agrega uma informação importante sobre matrizes que veremos mais a frente.

Definição: Uma matriz é dita elementar se pode ser obtida aplicando-se operações elementares na identidade.

Teorema: Seja $e$ uma operação elementar e $E$ a matriz elementar correspondente a essa operação $(E=e(I))$. Então, para qualquer matriz $A$, temos: $e(A)=EA$

Esse último teorema diz que aplicar operações elementares numa matriz $A$ é a mesma coisa que aplicar a mesma operação na matriz identidade ($e(I)=E$) e multiplicar a matriz resultante elementar com $A$. Quem estiver interessado pode brincar. Pegue uma matriz identidade 2x2, troque suas linhas e multiplique numa outra matriz 2x2. Veja que essa matriz sofrerá a mesma troca de linhas, e isso acontece com qualquer operação elementar feita na identidade. Aliás, duas ou mais operações elementares sucessivas numa matriz  $A$ podem ser feitas separadamente em matrizes identidades, e o produto dessas matrizes com a matriz $A$ gera o mesmo resultado.

Estamos quase no fim do post. Vamos a mais um teorema e um corolário importantíssimo:

Teorema: Se $A$ é quadrada $n\,x\,n$, equivale dizer:

1. $A$ é inversível
2. $A$ é linha equivalente a identidade
3. $A$ é produto de matrizes elementares.

Esse teorema garante o seguinte corolário: Se $A$ é inversível e uma sequência de operações elementares reduzem $A$ a identidade, então a mesma sequência de operações aplicada em $I$ geram $A^{-1}$.

Finalmente, era ai onde queria chegar nesse post de hoje. Essa é a grande força de tudo o que falei até agora - aplicando uma sequência de operações em $A$ que a leve para $I$, a mesma sequência aplicada em $I$ leva a inversa. Isto é: $E_n \ldots E_2 E_1 A = I \iff E_n \ldots E_2E_1 = A^{-1}$.

Vamos ver que na prática isso acontece mesmo. Abra a figura abaixo para verificar os passos que realizei no mathematica. Defini uma matriz 3x3. Em seguida, apliquei diversas operaçõoes elementares para reduzí-la a identidade. Depois, apliquei as mesmas operações na identidade, gerando uma nova matriz e no fim multipliquei essa nova matriz e a original e obtive a identidade, como esperado.

Dúvidas em relação a teoria ou aos passos no mathematica, deixem recados que responderei prontamente.

Abraços!

2011

Feliz ano novo!

Metas a curto prazo para o blog: Escrever um post sobre Taylor em 2 variáveis e sobre GA e Álgebra Linear.

Metas que tracei na volta da viagem da praia (curtíssimo prazo): Animar um pêndulo em algum software.

Metas concluídas: A anterior, nessa madrugada, no Mathematica:

Da até para "dumpear" hahaha ficou legal. Pretendo mandar para o Wolfram Demonstrations ai então divulgarei o código.

Próximas Metas: Tentar fazer o mesmo no Scilab e modelar/animar um sistema massa-mola acoplado.

Derivadas do produto usando o Mathematica, parte 2

Dando continuidade ao post anterior, vou retomar o processo que havia proposto - verificaremos no software alguns casos de sucessivas derivações duma função que é produto de outras duas e no fim vamos conjecturar uma fórmula para o termo geral, cuja demonstração vai num pdf.

No Mathematica, definimos a função h(x) que é produto de uma f(x) por uma g(x). Não é necessário especificar qual a expressão da função, o software é simbólico e reconhece quando vai se trabalhar genericamente. Lembrando que geralmente o que escrevemos em parênteses entra como colchetes na sintaxe do programa. Nossa h, portanto, é chamada pelo comando h[x].

Fazendo então h'[x] o programa interpreta a derivação e a realiza no produto de f com g. Sucessivamente, aplicamos a operação h''[x], h'''[x], h''''[x] - o resultado dessa história vai abaixo:

Talvez o output do programa não tenha beneficiado nossa percepção do que está ocorrendo. Reescrevendo algumas linhas, obtemos o seguinte:

h(x) = 1 f(x)g(x)

 h'(x) = 1 g(x)f'(x)+1 f(x)g'(x)

h''(x) = 1 f''(x)g(x)+2 f'(x)g'(x) + 1 f(x)g''(x)

 h'''(x) = 1 f'''(x)g(x) + 3 f''(x)g'(x) + 3 f'(x)g''(x) + 1 f(x)g'''(x)

h''''(x) = 1 f''''(x)g(x) + 4 f'''(x)g'(x)+6 f''(x)g''(x)+4 f'(x)g'''(x)+1 f(x)g''''(x)

O leitor astuto deve ter notado que os coeficientes dessas derivações são os coeficientes dum triângulo de Pascal. Este é um resultado interessante, pois podemos conjecturar (e foi o que fez Leibniz), por exemplo, qual será a expansão da sexta derivada dessa função. Novamente o leitor astuto pensaria na sexta linha do triangulo de Pascal. Ponto positivo.

De forma geral, podemos escrever a expansão da derivada do produto em qualquer ordem, desde que existam as derivadas até a ordem desejada. Dizemos que a função é da classe $$C^{n}$$ quando possuir todas as derivadas até a n-ésima ordem.

Então sejam $f(x)$ e $g(x)$ funções pertencentes à classe $C^n$. O produto de $f$ e $g$ também é $C^n$. Dizemos então que o termo geral da derivada pode ser escrito da seguinte maneira:

$$\frac{d^n}{dx^n}[f(x)\cdot g(x)] = \sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}f^{k}(x)\cdot g^{n-k}(x)}$$

Uma rápida verificação de valores nos devolve os resultados mostrados acima. A prova desse teorema é direta e feita por indução, porém o truque está em: 1 - Expressar a (n-1)-ésima derivada através da fórmula mostrada. 2 - Derivar a suposição 1, aplicando-se a regra do produto no somando. Essa derivação leva a (n-1)-ésima derivada na n-ésima derivada e a prova se conclui.

Deixo um link na pasta do 4shared para quem desejar ver a prova inteira. 

http://www.4shared.com/document/nV_3fkWB/formula-produto-leibniz.html

*Um recado para os alunos de cálculo 2: A sala da monitoria foi fixada - UL18 - todas as quartas das 14:00 até quando for preciso (18:00 é o limite, hehehe).

*Outro recado: No próximo post falarei sobre alguns assuntos de cálculo 2. Talvez parametrizações, talvez teoremas integrais vetoriais, talvez maximos e mínimos com Lagrange.

É isso ai. Abraços e boa noite. (Escrever de madrugada é bom - o silêncio é magnífico)