Dando continuidade ao post anterior, vou retomar o processo que havia proposto - verificaremos no software alguns casos de sucessivas derivações duma função que é produto de outras duas e no fim vamos conjecturar uma fórmula para o termo geral, cuja demonstração vai num pdf.
No Mathematica, definimos a função h(x) que é produto de uma f(x) por uma g(x). Não é necessário especificar qual a expressão da função, o software é simbólico e reconhece quando vai se trabalhar genericamente. Lembrando que geralmente o que escrevemos em parênteses entra como colchetes na sintaxe do programa. Nossa h, portanto, é chamada pelo comando h[x].
Fazendo então h'[x] o programa interpreta a derivação e a realiza no produto de f com g. Sucessivamente, aplicamos a operação h''[x], h'''[x], h''''[x] - o resultado dessa história vai abaixo:
Talvez o output do programa não tenha beneficiado nossa percepção do que está ocorrendo. Reescrevendo algumas linhas, obtemos o seguinte:
h(x) = 1 f(x)g(x)
h'(x) = 1 g(x)f'(x)+1 f(x)g'(x)
h''(x) = 1 f''(x)g(x)+2 f'(x)g'(x) + 1 f(x)g''(x)
h'''(x) = 1 f'''(x)g(x) + 3 f''(x)g'(x) + 3 f'(x)g''(x) + 1 f(x)g'''(x)
h''''(x) = 1 f''''(x)g(x) + 4 f'''(x)g'(x)+6 f''(x)g''(x)+4 f'(x)g'''(x)+1 f(x)g''''(x)
O leitor astuto deve ter notado que os coeficientes dessas derivações são os coeficientes dum triângulo de Pascal. Este é um resultado interessante, pois podemos conjecturar (e foi o que fez Leibniz), por exemplo, qual será a expansão da sexta derivada dessa função. Novamente o leitor astuto pensaria na sexta linha do triangulo de Pascal. Ponto positivo.
De forma geral, podemos escrever a expansão da derivada do produto em qualquer ordem, desde que existam as derivadas até a ordem desejada. Dizemos que a função é da classe $$C^{n}$$ quando possuir todas as derivadas até a n-ésima ordem.
Então sejam $f(x)$ e $g(x)$ funções pertencentes à classe $C^n$. O produto de $f$ e $g$ também é $C^n$. Dizemos então que o termo geral da derivada pode ser escrito da seguinte maneira:
$$\frac{d^n}{dx^n}[f(x)\cdot g(x)] = \sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}f^{k}(x)\cdot g^{n-k}(x)}$$
Uma rápida verificação de valores nos devolve os resultados mostrados acima. A prova desse teorema é direta e feita por indução, porém o truque está em: 1 - Expressar a (n-1)-ésima derivada através da fórmula mostrada. 2 - Derivar a suposição 1, aplicando-se a regra do produto no somando. Essa derivação leva a (n-1)-ésima derivada na n-ésima derivada e a prova se conclui.
Deixo um link na pasta do 4shared para quem desejar ver a prova inteira.
*Um recado para os alunos de cálculo 2: A sala da monitoria foi fixada - UL18 - todas as quartas das 14:00 até quando for preciso (18:00 é o limite, hehehe).
*Outro recado: No próximo post falarei sobre alguns assuntos de cálculo 2. Talvez parametrizações, talvez teoremas integrais vetoriais, talvez maximos e mínimos com Lagrange.
É isso ai. Abraços e boa noite. (Escrever de madrugada é bom - o silêncio é magnífico)
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