Quais os melhores livros de Cálculo 1?

Uma dúvida muito comum de quem acabou de entrar na faculdade de exatas é qual livro de cálculo seguir e adotar como referência. Consultando a biblioteca, você repara que alguns livros são gigantes, com muitas páginas, outros mais compactos e com páginas menores; alguns trazem várias figuras e cores e outros apresentam poucos gráficos e muitas equações. Às vezes aquele livro que mais te chamou a atenção não é o mesmo utilizado pelo professor.

O que fazer? Qual autor escolher? Afinal, qual é a diferença entre todas essas opções? Ou ainda, será que eu posso substituir um livro por um site na internet com bastante conteúdo? Embora essas perguntas sejam muito comuns, poucos professores se prestam a esclarecê-las na sala de aula. Esse direcionamento é fundamental para ter um bom aproveitamento na disciplina e é isso que vou apresentar nesse post – o “ecossistema” dos livros de cálculo, suas características principais, e qual deles você deve escolher como referência para os estudos!

Antes de tudo, uma curiosidade: por que existem tantos livros de cálculo?

Há duas razões principais que explicam por que há tantos livros de cálculo disponíveis nas bibliotecas e livrarias (eu consigo contar de cabeça pelo menos uns oito autores diferentes). A primeira é que os livros, por serem escritos geralmente por professores, acabam nascendo naturalmente como evolução das notas de aulas dos autores. O segundo motivo tem relação com o mercado editorial acadêmico. Vamos entrar mais a fundo nesses dois pontos abaixo:

Livros são filhos das apostilas e das lousas.

A maioria dos livros de cálculo renomados de hoje em dia foram concebidos num tempo em que era comum professores disponibilizarem apostilas próprias, notas de aula, para os alunos seguirem durante o curso. Essas notas costumavam ser mimeografadas ou xerocadas de um original, às vezes manuscrito, que continha explicações e exercícios propostos. Em alguns casos, as notas eventualmente tornavam-se apostilas, que por sua vez, eram enriquecidas, semestre após semestre, de acordo com o desenvolvimento das aulas.

Com ajuda de alunos e colaboradores, esses materiais acabavam sendo refinados e melhorados, e no momento em que o volume de informações contidas nas páginas chegava a um patamar que fazia sentido lançar tudo em livro, ou quando uma editora encomendava um livro com o professor, as apostilas eram editadas para se tornarem livro.

Como os livros já eram “adotados” antes mesmo de terem se tornado livros, isso era um indicativo de que o material possuía qualidade suficiente para atender a outras turmas.

Concorrência entre editoras

Atualmente existe um pequeno grupo de empresas e conglomerados editoriais que domina o mercado de livros didáticos e acadêmicos. A disputa pelo mercado se dá em diversos segmentos e temas, sendo um deles a área de exatas. Os livros de cálculo não ficam de fora.

Os maiores livros do mercado editorial americano foram traduzidos e publicados no Brasil para suprir a demanda crescente pelo material. O acesso à escola e às universidades no Brasil cresceu bastante dos anos 90 para cá, e, diante desse cenário, cada editora correu para adquirir direitos de publicação e concorrer na venda de livros.

Qual livro de cálculo devo escolher?

Por conta da pressão da concorrência entre as editoras, os livros de cálculo mais populares foram sofrendo adaptações de conteúdo, estilo e formato ao longo do tempo. Esse processo acabou por homogeneizar o conteúdo desses livros, e hoje já não há tantas diferenças entre os diversos títulos.

• A ordem dos assuntos acaba sendo muito parecida. 
• A quantidade de exercícios é similar, e os exercícios são bem parecidos entre si. 
• A faixa de preços é parecida, todos com custo elevado. 

No entanto, cada livro ainda conserva um pouco do direcionamento que seus autores deram nas primeiras edições, e vale a pena conferir o enfoque que cada um dá a determinados assuntos do cálculo. Alguns são mais indicados para os alunos que estão cursando engenharia, outros para quem está em matemática, física ou química, devido ao estilo de texto e de profundidade de explicação.

Vou listar abaixo as impressões que tenho sobre os principais livros de Cálculo 1 disponíveis no mercado, tentando mostrar tanto o lado positivo quanto o lado negativo de cada autor. Antes algumas ressalvas:

• A lista não visa esgotar todas as opções disponíveis no mercado 
• Eu não tenho filiação com nenhuma editora para fazer propaganda dos títulos, se eu recomendei ou não algum livro foi por preferência pessoal baseado na minha experiência 
• Geralmente os autores publicam dois ou mais volumes para cobrir Cálculo Diferencial e Integral em uma variável, Cálculo em Duas Variáveis, Séries e Sequências. O foco desse post é nos volumes que cobrem Cálculo de uma variável, comumente chamados de Cálculo 1. 
• Os links disponíveis para grandes livrarias são afiliados, ou seja, eu ganho uma comissão sobre cada venda resultante de cliques pelo blog. Se você encontrar utilidade sobre o que eu escrevi e quiser saber mais coisas sobre cálculo, física ou engenharia, considere comprar algum livro pelos links listados para me ajudar a continuar colocando artigos interessantes no blog. Obrigado! 

Cálculo - Volume 1 de James Stewart

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O livro de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável do James Stewart está em sua 7ª edição. A primeira edição data do final da década de 80. Bastante adotado nas disciplinas de Cálculo das faculdades brasileiras – principalmente nos cursos de engenharia –, ele não é visto com bons olhos por professores que prezam por maior rigor matemático. As demonstrações nos capítulos são simplificadas, e algumas vezes suprimidas, e não há tanta preocupação em mostrar o arcabouço lógico por trás dos assuntos. A ênfase é maior nas aplicações do Cálculo e no aprendizado dos métodos de derivação e integração.

Eu diria que é um livro razoável para o primeiro contato com o Cálculo, pois a quantidade e variedade de exercícios (principalmente os “exercícios quentes”) são suficientes para garantir ao menos o aprendizado da parte “mecânica”. A última edição traz um primeiro capítulo mais voltado ao entendimento de modelos matemáticos, uso de calculadoras gráficas, etc.. Isso é interessante para quem estuda engenharia, pois foge um pouco do convencional dos livros de Cálculo, que é apresentar uma revisão de aritmética, funções e gráficos no início do texto. Ponto positivo.

A falta de uma reflexão mais profunda sobre os conceitos matemáticos é um ponto negativo do Stewart, na minha humilde opinião. Alunos mais interessados vão achar o livro desestimulante, e alunos desmotivados provavelmente não vão se interessar pelo Cálculo somente com esse livro texto de referência. Eu acho que vale muito mais como uma segunda fonte de consulta, principalmente pela quantidade de exercícios.

Vejo muita gente adquirindo o livro por conta dos professores que geralmente o utilizam como base para as provas da matéria. Eu acho que vale a pena consultar os volumes disponíveis na biblioteca da faculdade e comprar outro livro como referência, se esse for mesmo o problema.

Cálculo com Geometria Analítica - Volume 1 de Louis Leithold

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O livro do Leithold, Cálculo com Geometria Analítica, é bastante similar em conteúdo ao livro do Stewart, no entanto é bem mais antigo – sua primeira edição foi lançada em 1968. Naturalmente segue uma apresentação do assunto mais clássica: inicia falando dos números reais, funções e gráficos, passa por limites, derivadas, máximos e mínimos, teorema do valor médio, entra em integrais indefinidas, integrais definidas, funções trigonométricas inversas, logarítmicas e hiperbólicas. No final apresenta sobre seções cônicas, séries de Taylor e formas indefinidas.

De modo geral, é um livro razoável também. Ele tem menos ladainha que o Stewart na apresentação dos conceitos, é direto ao ponto, mas do mesmo modo como o Stewart não se aprofunda nos assuntos. Como já é um livro veterano, peca pela falta de atualização nas aplicações, mas possui uma lista extensa de exercícios, o que é bom para praticar a “mão” no Cálculo.

Na faculdade peguei o Leithold poucas vezes e confesso que não me empolguei. É como se fosse um atleta que sempre fica nas posições intermediárias no ranking da competição – todo mundo sabe que tem alguém ocupando aquele lugar, mas ninguém dá muita bola para quem seja. Se fosse preciso consultar recorreria aos exemplares das bibliotecas, e recomendaria a compra se o preço estiver mais em conta que outros títulos.

Cálculo com Geometria Analítica - Volume 1 de George Finlay Simmons

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Um dos meus livros preferidos, o Cálculo com Geometria Analítica do Simmons, é um clássico. Ele segue a mesma linha de apresentação de conteúdo do Leithold, mas possui algumas diferenças substanciais: primeiro, ele introduz a ideia de limites de forma bem breve, sem dedicar um capítulo todo ao tema. Ele se justifica afirmando que, como o conceito de limites só auxilia o entendimento de derivadas e integrais, e o foco do Cálculo são as derivadas e integrais, logo não é preciso gastar tanto tempo se debruçando sobre as demonstrações de limites – melhor chegar logo no que interessa.

Depois o livro segue a sequência tradicional de apresentação dos tópicos que se encerra em apêndices e adendos bastante interessantes, e é aqui que eu vejo o maior ponto positivo do livro do Simmons: mesmo não trazendo tantas aplicações de Cálculo (seu uso nas engenharias, no contexto computacional atual, como o Stewart), os apêndices são fantásticos por si mesmos. São algumas breves páginas dedicadas ao aprofundamento dos conceitos principais do Cálculo e demonstrações alternativas de certos teoremas. Além disso, há uma seção dedicada a cada grande matemático que contribuiu com o corpo de conhecimento do cálculo ao longo de dois milênios, como Newton, Leibnitz, Arquimedes, Laplace, Euler, Gauss, Riemann, etc. É uma fonte rara de informação que não se encontra facilmente em outros livros, e que mesmo não sendo necessária para entendimento do cálculo, é bastante interessante para entender o contexto da época e como cada avanço teórico se deu dentro do quadro geral da matemática.

Em resumo é um livro muito bem balanceado e bem escrito. Perto dos outros já apresentados, é o que chega mais longe em termos de profundidade e abrangência, pois mesmo o que não está rigorosamente definido no texto é apresentado nos apêndices. Ele não deixa de ter alguns problemas, como a falta de aplicações (que acomete todo livro mais antigo e não atualizado, pelo que já devem ter percebido), mas foi o meu principal livro de referência quando estudei.

Certamente recomendado como referência para a sua biblioteca pessoal, mas costuma ser mais caro que os outros títulos.

Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1 do Henry Edwards e David Penney

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O livro de Cálculo do Edwards & Penney, perto dos outros apresentados, é bem mais sucinto, mas nem por isso deixa de ser uma ótima fonte de consulta. Segue a linha do Simmons em não fugir das demonstrações, e acompanha a distribuição natural dos tópicos. Eu gosto da ênfase nos conceitos geométricos que os autores colocam nas demonstrações.

Em minha opinião, o ponto positivo mais expressivo do livro do E&P são as notas de rodapé e projetos práticos em que os autores convidam o leitor a utilizar softwares matemáticos para resolver as certos problemas. Essas aplicações são interessantes e a parte prática está bastante alinhada com a necessidade atual de unificar os avanços tecnológicos na área da computação com o ensino das disciplinas clássicas do curriculum de exatas, incentivando o uso de softwares, como o Wolfram Mathematica, no apoio ao aprendizado.

O livro do E&P traz menos exercícios no fim dos capítulos do que os livros do Leithold e Stewart, no entanto os exercícios são em geral mais elaborados e exigem bastante raciocínio e reflexão. O problema com o livro de Cálculo do Edwards e Penney é que, por fugir um pouco da apresentação tradicional do assunto, acabou sendo pouco adotado nas faculdades, e portanto é difícil encontrá-lo por ai. Algumas bibliotecas devem possuir exemplares disponíveis, mas há muito não sai uma nova edição em português. Aguardemos.

Cálculo A de Diva Flemming e Miriam Gonçalves 

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Finalmente um livro de autoria nacional, o Cálculo A. Tive pouco de contato com ele na graduação, então não tenho muita propriedade para falar sobre suas características. De modo geral é um livro compacto, não foge do trinômio limite, derivadas e integrais, traz uma seleção de exercícios curta e o conteúdo segue os moldes tradicionais, sem muita inovação. Lembro-me de ter sentido falta de mais figuras para demonstrar conceitos e um pouco mais de clareza nas explicações, mas creio que esses detalhes tenham sido corrigidos nas edições posteriores.

O ponto positivo fica por ser nacional e geralmente ser o mais barato do que os concorrentes. Assim como os livros do Stewart e do Leithold, eu recomendaria como uma segunda fonte de consulta. Vale a pena comprar se o preço estiver em conta.

Um Curso de Cálculo - Volume 1 de Hamilton Luiz Guidorizzi 

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O Livro do Guidorizzi possui uma boa reputação entre os professores, mas é temido entre os calouros. Sua apresentação rigorosa dos teoremas de Cálculo aliado a uma apresentação de conteúdo que foge um pouco do tradicional é a receita certa para espantar os marinheiros de primeira viagem que desconhecem o seu teor.

Sejamos justos: o livro do Guidorizzi, perto dos títulos apresentados anteriormente, é bem mais complexo para uma primeira leitura, pois ele se aprofunda bastante nos assuntos, sendo necessário certa dose de maturidade para digerir o conteúdo. Mas o temor em relação a esse título não se justifica - os veteranos criam uma certa lenda em cima da dificuldade do livro que muitos calouros ficam predispostos a rejeitá-lo sem antes analisá-lo com a independência de sua própria massa encefálica.

Essa dose de maturidade que comentei só é alcançada no momento em que o aluno se esforça para superar o desafio de entender os pormenores do Cálculo, coisa que livros como o Stewart não oferece. Então nesse sentido eu recomendo o livro, mas sempre recorrendo aos outros títulos quando uma dificuldade surgir.

É um livro para matemático, então naturalmente não foca em aplicações práticas, mas mesmo assim é bastante cobrado em alguns cursos de engenharia pelo país também. Esses últimos não deveriam se assustar com seu conteúdo - que segue a forma tradicional, mas adianta alguns assuntos no meio do caminho, como equações diferenciais de primeira ordem, e foca na explicação profunda de assuntos como a Integral de Riemann -, pois, vencido esse desafio intelectual, aprender resistência dos materiais, mecânica dos fluidos ou física avançada fica muito, muito mais fácil.

Cálculo - Volume 1 de Tom Apostol 

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O livro do Apostol é um clássico, e divide com o Spivak o posto de um dos melhores livros de Cálculo em minha opinião. As explicações são claras e rigorosas, como no livro do Guidorizzi, não há omissão de demonstrações dos teoremas, mas nem por isso o autor se esquece de apresentar uma reflexão intuitiva e geométrica do Cálculo.

O livro segue a ordem de desenvolvimento histórico do Cálculo, e uma vez que você entende essa ideia, fica difícil não achar ruim a seleção dos tópicos dos outros livros: começa falando de integrais como o problema das áreas, naturalmente caí na ideia do limite para mostrar e formalizar que integrais são limites de uma soma (de Riemann), e só depois entra no problema das tangentes e relaciona a derivada com as integrais. Nós outros livros, as integrais surgem como o problema das "antiderivadas", um artifício didático que não faz qualquer sentido dentro do contexto de desenvolvimento do Cálculo na história.

Os exercícios variam dos simples aos desafiadores. É um livro completo: aprendendo por ele você aprende tudo o que precisa saber sobre Cálculo nesse nível de detalhe. Como o Guidorizzi, o nível de dificuldade é elevado, mas do mesmo modo estimula o amadurecimento lógico e matemático do leitor.

Cálculo - Michael Spivak 

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Dentre todos os livros do assunto no mundo, incluindo os títulos russos, o Cálculo do Spivak é o maior. Ele é intenso, discute aspectos do Cálculo que somente uma mente mais preparada pode absorver, entra em tópicos de Análise Real, retorna para as aplicações do Cálculo, destrincha um teorema de forma meticulosa e espera que o leitor faça o mesmo nos exercícios.

O intuito do Spivak foi escrever um livro que oferecesse um encontro real com a matemática, mostrando que o rigor e a formalidade pavimentam o caminho lógico a partir do qual um estudante pode compreender conceitos modernos da matemática contemporânea.  As explicações são muito, muito bem escritas.

Os exercícios são um caso à parte. Com otimismo conseguimos resolver alguns poucos enunciados dentro de horas, outros levam dias. O nível de dificuldade é tanto que esse livro deve ser lido com cuidado para evitar a frustração precoce com a matéria. Enquanto que nos outros livros é possível pular alguns capítulos, o próprio Spivak no prefácio recomenda que a leitura seja linear e sem saltos, pois cada capítulo contem conceitos e insights que são pré-requisitos para os próximos.

No fim das contas, é uma obra prima da matemática. Sugiro pelo menos abrir o livro uma vez na vida, somente para apreciar um texto escrito por quem tem domínio sobre o assunto e sobre a didática. Recomendadíssimo para os matemáticos e uma leitura enriquecedora para os físicos e engenheiros que querem se aprofundar mais em conceitos lógicos da matemática e do cálculo.

Finalizando

Ficou mais do que claro que há diversas opções de livros para se aprender Cálculo 1 e utilizar como referência. Essencialmente, todos os textos ensinam as mesmas coisas, exceto pelo rigor e profundidade que variam de acordo com o enfoque do autor.

Livros que preferem dedicar um maior tempo com exemplos, dando ênfase nas regras de manipulação algébrica do Cálculo, são geralmente voltados para cursos de Engenharia. Já os livros que reforçam a importância das demonstrações, a apresentação dos teoremas e as implicações teóricas são geralmente voltados para matemáticos e físicos. No entanto, tanto um grupo quanto o outro pode se beneficiar de toda essa bibliografia, independente do enfoque.

A principal dica que ofereço é nunca se prender a um único livro e sempre buscar fontes alternativas que discutam um mesmo conceito. Quando cursei cálculo em 2009, eu utilizava 2 livros para estudo, mas sempre trazia pelo menos mais um livro da biblioteca para complementar os meus estudos.

Hoje há também uma infinidade de recursos disponíveis online para as pessoas que preferem estudar pela tela do monitor. No YouTube há diversos canais oferecendo video-aulas gratuitas, como o Khan Academy (em inglês) e o "Me Salva" (em português). Um site bom com um conteúdo equivalente ao de um livro é o Paul's Online Math Notes, por exemplo. A USP disponibiliza um portal de Cálculo chamado eCalculo, com bastante coisa interessante também.

Se você leu o post todo até aqui, fica aqui o meu muito obrigado e espero que você tenha bastante sucesso nos estudos. O Cálculo é a porta de entrada para um vasto universo de conhecimento e indispensável para compreender os avanços científicos desde o século XIX até os dias atuais. Nem sempre a jornada é fácil, mas com calma e dedicação todo mundo pode chegar lá - sempre com a ajuda de um livro, é claro!

Qualquer dúvida, sugestão ou ideia - por favor deixe um comentário! Ficarei feliz em receber sua mensagem e responderei o mais rápido possível. Obrigado!!

Axiomas de Peano para os números naturais

A matemática, como toda ciência, pode ser pensada como um muro. Cada tijolo é uma teoria, um ramo do saber, e cada tijolo sucessor só o é pois consegue se apoiar nos anteriores, de modo que existe uma continuidade crescente. Os matemáticos são os pedreiros, que colocam e posicionam os tijolos, e um outro tipo de trabalhador, aquele que "passa a massa", que fixa o novo tijolo ao antecessor com uma substância concreta, é conhecido como o lógico. (Vamos supor, para todos os efeitos, que existe distinção entre matemático e lógico).

A analogia acima é um exemplo, mutatis mutandi, de como a matemática funciona. Geralmente os matemáticos se baseiam em conhecimentos pré-existentes para criar suas teorias, pois eles complementam e fornecem solidez  às novas ideias. Isto é, mais um tijolo é erguido sobre os outros. O próprio Newton escreveu para Robert Hooke, aquele mesmo da lei de Hooke, que "Se vi mais do que você e Descartes, é porque me coloquei sobre os ombros de gigantes" quando criou o cálculo diferencial e integral. Ainda que a teoria de Newton tenha sido de fato inovadora, no sentido de dar um tratamento sistemático às descobertas de Fermat, Barrow, Arquimedes e outros, podemos dizer que não foi rigorosa no sentido de que muitos dos processos envolvidos ainda eram obscuros, mas funcionavam. Analogamente, é possível dizer que Newton posicionou muito bem seu tijolo, mas ninguém passou a argamassa nem concretou aquele imponente pedaço do muro.

O ponto no qual quero chegar, e a analogia vai servir bem para entendê-lo, é o seguinte: "Em onde os primeiros tijolos se sustentam?". A pergunta, embora simples, tem sua resposta: "No chão, oras!". É ai que nos enganamos pela simplicidade da analogia, e ela falha. O chão sobre o qual a matemática se ergue é muito mais complicado que parece. Primeiro, assumimos implicitamente, na analogia, que a matemática, sendo um muro, só crescia numa só direção. Isso é errado, pois existem duas possibilidades: Se conhecemos alguma parte ou teoria da matemática, é possível ou construir/ampliar novas ideias à partir dela (Newton assim o fez) ou buscar simplificá-la, abstraí-la logicamente. A este último procedimento damos o nome de filosofia da matemática, cujo estudo se volta para as questões fundamentais da matemática. Não se constrói nada inovador, mas no fim ela leva a muitas descobertas que acabam contribuindo para os outros ramos. Aqui cabe a distinção entre matemático e lógico. No fundo são de fato a mesma coisa, mas efetivamente o lógico se preocupa com a filosofia da matemática, ao passo que o matemático se preocupa com outras possibilidades (aplicações, etc). Pode-se até dizer que todos os lógicos são matemáticos puros, enquanto que nem todos os matemáticos puros são lógicos. Bem, mas essa não é a discussão que quero chegar.

Nesse sentido, do objeto de estudo matemático poder se estender por dois lados, os lógicos se preocuparam em buscar o chão daquela nossa analogia. Isso porque a matemática vive num moto perpétuo, isto é, o conhecimento surge rapidamente e cada nova descoberta  precisa ser logicamente correta, livre de subjetividades, afinal, essa é uma ciência que exige um método para bem raciocinar, como disse o pai dos eixos cartesianos Descartes. Só para exemplificar, antigamente muitas teorias emergiam mediante o uso de argumentos heurísticos (o próprio Newton assim fez) e conclusões apressadas. Sendo os conceitos totalmente novos, era extremamente necessário um amparo racional para que toda essa base erguida não se arruinasse.

Giuseppe Peano, matemático italiano que nasceu na metade do século XIX e morreu no século XX, modernizou a lógica matemática e fundou a teoria dos conjuntos. Essa teoria dos conjuntos foi uma maneira encontrada por Peano para reduzir os conceitos matemáticos à axiomas da lógica, fundamentando o solo em que a matemática repousa e eliminando as fontes de erro lógico decorrentes de argumentos incertos. 

Peano começou sua teoria partindo do "objeto" matemático mais simples que parecesse. Naturalmente, pensou na série dos números inteiros positivos, o conjunto Z  = { 0, 1, 2, ..., n, n+1, ...}. Apesar de natural, o conceito de número é algo recente. Por exemplo, o 0 só foi introduzido na Europa no século XIII. Mesmo assim, os números, como números, são conceitos estranhos e abstratos, mas aceitos.

Peano buscou então fazer uma "descida" até primitivas lógicas que não dependam de uma definição, no sentido de pertencer a alguma classe já conhecida, como os números arábicos. Ele pensou que se encontrasse um sistema lógico partindo dos números naturais, ele seria válido para toda a matemática, já que  a matemática pura tradicional, inclusive a geometria analítica, eram derivadas de proposições referente às propriedades dos números naturais. Em outras palavras, a validade do sistema para os números naturais implica na validade do sistema para todo o resto.

Com essa isso em mente, o passo seguinte era encontrar um menor conjunto de premissas e axiomas que definisse o sistema. Peano mostrou que para isso precisaria de 3 conceitos lógicos, além de 5 axiomas. Essa foi uma idéia inovadora e de grande importância para a matemática.

Os 3 conceitos lógicos no sistema de Peano, chamado de aritmética de Peano, são:

0, número, sucessor.

apesar de número entrar nessa definição, ele não é entendido como uma entidade conhecida assim como os números em si. Isso é assunto para outro post. Entende-se a idéia de sucessor como sendo o numero seguinte na ordem natural (esta é uma afirmação fraca também, e pode ser assunto para outro post), isto é, 1 é sucessor de 0, 2 é sucessor de 1, e assim por diante.

Os cinco axiomas de Peano são:

1. 0 é um número.
2. O sucessor de qualquer número é um número.
3. Dois números diferentes nunca têm o mesmo sucessor.
4. 0 não é sucessor de qualquer outro número
5. Qualquer propriedade que pertença a 0 e também ao sucessor de qualquer número que tenha essa propriedade pertence a todos os números

Notemos que a propriedade 5 permite definir o método de indução matemática. É possível verificar que as operações matemáticas são determinadas pelas 3 primitivas e pelos 5 axiomas. Por exemplo: Para definirmos a operação básica de soma, partindo de um número a, definimos a + 0 = a e dizemos que a+(b+1) é sucessor de (a+b) (apesar de não ter dito, x+1 pode ser entendido como sucessor de x) para todo b. Em outras palavras, partindo de 0, é possível "contar" quantas sucessões foram precisas para se chegar a a e a b.  

O número expresso por a+b é então o número equivalente a contar essas sucessões repetidas, partindo do 0.

Apesar de elegante, o sistema de Peano é falho no sentido de que qualquer sucessão ordenada, que não tenha termos repetidos, etc, se encaixa nas definições. Não podemos distinguir entre diferentes interpretações de 0, número e sucessor. É possível definir 0 como 10, 1 como 11. Ou 0 como átomo, 1 como molécula, etc. e mesmo assim os axiomas são válidos. Esse é assunto pra outro post também. O objetivo desse foi dar uma pincelada sobre como essa empreitada de reduzir matemática à lógica foi feita.

Bom, não é preciso falar que esses problemas foram contornados por outros matemáticos, fazendo a "lógica" prevalecer.

É isso. 

Referencia: Bertrand Russel: Introdução à filosofia matemática.