Olá Anônimo, obrigado pelo comentário no post sobre maximos e mínimos por Lagrange e pela sujestão para escrever sobre Taylor em 2 variáveis. Assim que tiver tempo (começo de dezembro) o farei.

Sobre a análise da fronteira, é preciso verificar caso a caso. Primeiro, é interessante e não existe problema algum em dividir a borda em "pedaços" e analisar cada pedaço separadamente. Geralmente se faz essa divisão aproveitando-se do formato do domínio.

Por exemplo, muitos livros apresentam funções definidas num contorno triangular, no qual dois catetos se assentam nos eixos coordenados positivos e a hipotenusa corta o quadrante positivo. Vamos supor então que queremos investigar os candidatos a max. e mins. de $f(x,y)=2x+y^2$ na fronteira triangular, cujos catetos são dados por $0< x < 2$, $0 < y <2$ e a hipotenusa obedece a equação $y=2-x$.

Começamos então por verificar o cateto que se estende pelo eixo $x$ de $0$ até $2$. Imagine que vc está dentro dum carro no ponto inicial $(x_i,y_i) = (0,0)$ e anda até o ponto final $(x_f,y_f) = (2,0)$ seguindo a linha do eixo x. Nesse movimento, sua coordenada y não mudou - foi sempre zero - mas é possível que seu carro tenha subido ou descido uma montanha - em outras palavras, a coordenada $z = f(x,y)$ pode ter mudado (e queremos saber ela atinge ou maxs, ou mins). Um modo então de verificar como nossa função se comporta nessa linha é fazer $f(x,0) = 2x$ com $x$ variando de $0$ até $2$. Repare que essa função descreve as posições do eixo $z$ que nosso carro atingiu quando estava andando na linha $y=0$ com $x$ de $0$ até $2$. O problema agora recai em cálculo 1, pois queremos encontrar maximos e minimos de uma função de uma variável. Como $f(x,0) = 2x$ é linear e crescente, seu mínimo ocorre quando $x=0$ e portanto o primeiro ponto candidato a mínimo de $f(x,y)$ é $P1 = (0,0)$, e seu máximo ocorre quando $x=2$, e portanto o ponto candidato a máximo de $f(x,y)$ é $P2= (2,0)$.

Analisar o cateto que está no eixo y segue de modo análogo, lembrando que vamos andar de $0$ até $2$ com a coordenada $x=0$ fixa. Assim fazemos $f(0,y) = y^2$ e analisamos os máximos e mínimos no domínio $y\in[0,2]$.

Talvez a dificuldade esteja em verificar na fronteira da hipotenusa, que está inclinada e não podemos fixar uma variável e analisar quanto varia a outra, como fizemos anteriormente.
O truque está em escrever parametricamente a condição de que quem anda na hipotenusa obedece a equação $y = 2-x$ para $x$ no intervalo de $[0,2]$. Em outras palavras, sua posição paramétrica é dada (em função da coordenada x) por $r(x) = (x,2-x)$ com $x$ de $[0,2]$. Testando alguns valores, $x=0$, obtemos o ponto $(0,2)$ que vai de acordo com nosso triangulo no plano.

Fazendo $f(r(x))$ obtemos $f(r(x))=f(x,2-x)=2x+(2-x)^2$. Novamente ficamos com uma variável somente - basta agora aplicar os métodos de cálculo 1 para encontrar os candidatos de máx. e mínimo.

Em suma, essa é a ideia de como analisar os candidatos a máx. e min na fronteira. Se no caso da hipotenusa tivessemos um quarto de circulo, dai seria necessário parametrizar o círculo ($x = r cos t, y = r sen t$) e dai substituiríamos esses valores de x e y na função $f(x,y) = f(rcost,rsent)$ e analisaríamos novamente como no cálculo 1, mas agora nossa função é do angulo $t$.

Uma região aparentemente mais complicada continua sendo simples com esse tipo de análise é essa que desenhei na figura abaixo:

Chute uma função e alguns valores da figura e procure seus máximos e mínimos, é um bom exercício. Não se esqueça que só analisamos as fronteiras nesse post, e não os interiores por elas delimitados.
Em suma, o que fizemos em todos os casos foi parametrizar a fronteira e analisar o problema de uma variável, sendo que isso é mais fácil quando a curva é reta - hehehe
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Quaisquer mais dúvidas não hesite em perguntá-las. Um abraço.