Sobre sistemas lineares.

Esse post vai falar rapidamente sobre sistemas lineares - sem escrever as matrizes dos sistemas, pois isso cansa pra fazer aqui. A ideia é fazer algo mais qualitativo - espera-se que o leitor tenha um conhecimento básico em matrizes e operações elementares (matriz linha reduzida - escada).

Bem, um sistema linear é uma expressão da forma $Ax=b$, onde $A$ é uma matriz de ordem $m\,x\,n$ conhecida, $x$ é um vetor coluna  $n\,x\,1$ desconhecido (queremos encontrá-lo) e $b$ é o chamado vetor de dados $m\,x\,1$.

Para não haver confusão, dizer que se $A$ é $m\,x\,n$ significa que a matriz tem $m$ linhas e $n$ colunas. Em outras palavras, o sistema $Ax=b$ tem $m$ equações e $n$ incógnitas.

No que se refere a solução deste sistema, consideremos o caso em que $m = n$ e $b\neq 0$ .  Isso quer dizer que $A$ é uma matriz quadrada e que o sistema é não-homogêneo.

No caso de $A$ ter inversa, $A^{-1}$, a solução do sistema $Ax=b$ é obtida multiplicando-se os dois lados pela inversa (respeitando a ordem da multiplicação). Ou seja: $A^{-1}Ax=A^{-1}b \Rightarrow x=A^{-1}b$ pois $A^{-1}A=I$.

Veja que o sistema $Ax=b$ tem solução se e somente se $A$ for inversível, e uma condição para que $A$ seja inversível é que $det A\neq 0$.

Isso nos leva a outra situação. Se $det A=0$ a matriz $A$ não tem inversa - o que nos leva a considerar alguns casos menos diretos que o anterior - quando o sistema pode ou não ter solução.

Quando não há solução: Imagine o sistema formado pelas equações $x + y = 1$ e $2x + 2y = 3$. Notadamente, vemos que o sistema não tem solução pois a segunda equação soma as quantidades x e y em dobro mas o resultado é 3 e não 2, pela primeira equação. Como verificamos esse fato na forma matricial?

Bem, considere duas matrizes $A$ e $A_e$. $A$ é a matriz dos coeficientes, a qual estávamos nos referindo anteriormente, e $A_e$ é a chamada matriz estendida do sistema - essa matriz difere de $A$ pois existe uma coluna a mais, e essa coluna recebe os valores do vetor de dados $b$. Isto é, $A_e = [A|b]$. Se realizarmos operações linha nessas duas matrizes para colocá-las na forma escada, vamos chegar na situação em que a forma escada de $A$ contém uma linha cheia de zeros e a forma escada de $A_e$ não - voltando a pensar no sistema de equações, chegamos num absurdo onde $0x+0y=1$ - Como detectamos esse absurdo operando nas matrizes dos sistemas?

Chamamos de posto de uma matriz o número de linhas não-nulas na sua forma escada. Então o posto de $A$ (na forma escada) é $1$, e o posto de $A_e$ (na forma escada) é $2$. Quando o posto de $A$ é diferente do posto de $A_e$, então o sistema é impossível. Isso é um teorema, demonstrado mais ou menos por essas ideias que comentamos.

Quando há solução: Mudando um pouco o exemplo anterior, o sistema formado por $x + y = 1$ e $2x + 2y = 2$ é "verdadeiro" no sentido da segunda equação ser o dobro da primeira. Isso quer dizer que tomando qualquer par de números (x,y) que satisfaça a primeira equação, a segunda também o será e vice-versa. Pensando em matrizes, quando o posto de $A$ for igual ao posto de $A_e$, (ambas em sua forma escada),  o sistema $Ax=b$ admite infinitas soluções. (verifique!)

Vimos até agora rapidamente que as soluções de um sistema linear dependem da matriz do sistema ter ou não determinante nulo. Agora vamos abordar o caso do sistema $Ax=0$, isto é, com $b=0$ (e $m=n$). Esse sistema é chamado sistema linear homogêneo.

Da mesma maneira, vamos verificar o que acontece com as soluções à partir do determinante:

Se $detA\neq 0$ a coisa não muda - a matriz $A$ tem inversa e a solução do sistema é dada por $x=A^{-1}0 = 0$. Opa. $x = 0$. Essa é a famosa solução trivial. Na prática, é raro querermos as soluções triviais de um sistema.

Mas se $detA=0$, a matriz $A$ não possuí inversa. Assim, devemos analisar o posto de $A$ e o posto de $A_e$ na forma escada para verificar se o sistema possuí ou não solução. Mas não precisamos de fato analisar o posto pelo seguinte motivo:

A expressão $det A=0$ siginifica que uma linha de $A$ é combinação linear das linhas de $A$. Quando aplicarmos as operações elementares para reduzir $A$ para sua forma escada, essa linha, combinação das outras, vai se anular. Como o vetor de dados é também nulo, o posto de $A_e$ não será modificado e teremos posto de $A$ igual ao posto de $A_e$. Logo, o sistema possuirá infinitas soluções.

Em outros ramos da matemática (e muitas vezes da física), quando chegamos num sistema homogêneo buscamos sempre as soluções não triviais. Assim, para haver soluções não trivias impômos ao determinante da matriz do sistema ser nulo, com base nas ideias discutidas acima.

Talvez o leitor se pergunte - por que tanta algebrização, definição, etc etc etc. Bem, a simplicidade de um sistema 2x2 é traiçoeira, de modo que não podemos supor sua existência nos sistemas de ordens maiores. Ao trabalhar com sistemas, 20x20, 50x50, 1000x1000, essa sistematização é inevitável para encontrar soluções, etc.

Talvez eu tenha esquecido de algo, pois escrevi isso bem rápido. Esse tema tem muito pano para a manga, e quando falarmos de espaços vetoriais, subespaços, as coisas ficarão mais interessantes.

Abraços. Parabéns aos alunos que foram aprovados no vestibular (o resultado saiu hoje).