É bem sabido que o pequeno Gauss, durante uma aula em que o professor, bravo, mandou os alunos somarem do número 1 até o número 100 como castigo, rapidamente disse a resposta correta. Mal sabia o mestre que estava diante de outro mestre, que como poucos calculava.
Pois bem, a soma que Gauss realizou em pouco tempo apresenta um truque. Por exemplo, a soma S=1 + 2 + \ldots + 100 pode ser "pareada" da seguinte maneira: S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+\ldots+(50+51). Numa idade em que quase ninguém pensa em números Gauss, na mesma idade, observou que cada soma entre parênteses gerava o mesmo resultado, 101, e como havia 50 pares, o valor da soma é então S=50\times 101=5050.
Genial não? Então para se deduzir a fórmula da soma de 1 até n, procedemos de forma análoga:
Seja S_n a soma dos n primeiros naturais. Então escrevendo a soma duas vezes, a segunda com ordem invertida
S_n=1 + 2 + 3 + \ldots + n
S_n=n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 1
podemos somar mentalmente cada coluna e verificar que todas as somas geram n+1 como resultado (1+n, 2+(n-1), etc.). Dado que temos n colunas, obtemos
2S_n=n(n+1)
que gera a famosa fórmula da soma dos n primeiros naturais
S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}
A validade da fórmula pode ser provada por indução, mas vou deixar para o leitor fazer.
Agora, o que acontece se nossa soma não for exatamente dos números naturais até n, isto é, qualquer outra progressão aritmética? Bem, seguimos o raciocínio análogo. Seja S_n a soma da P.A. de razão r:
S_n= a_1 + (a_1+r) + \ldots + (a_1+(n-1)r)
S_n= (a_1+(n-1)r) + (a_1+(n-2)r) + \ldots + a_1
Cada coluna soma 2a_1+(n-1)r e há n colunas. Assim:
2S_n=n(2a_1+(n-1)r)
S_n=\dfrac{n(2a_1+(n-1)r)}{2}
Como a_1+(n-1)r=a_n temos:
S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}
Que é a fórmula da soma da PA genérica.
Abraços!
Fonte: Courant
Alan Sensacional, continue forte aí e postando no blog!!!
ResponderExcluirSAUDADE, quando aparecer aqui em Sanja vamo se ver, abraçoooooo
Lê.