É bem sabido que o pequeno Gauss, durante uma aula em que o professor, bravo, mandou os alunos somarem do número 1 até o número 100 como castigo, rapidamente disse a resposta correta. Mal sabia o mestre que estava diante de outro mestre, que como poucos calculava.
Pois bem, a soma que Gauss realizou em pouco tempo apresenta um truque. Por exemplo, a soma $S=1 + 2 + \ldots + 100$ pode ser "pareada" da seguinte maneira: $S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+\ldots+(50+51)$. Numa idade em que quase ninguém pensa em números Gauss, na mesma idade, observou que cada soma entre parênteses gerava o mesmo resultado, $101$, e como havia $50$ pares, o valor da soma é então $S=50\times 101=5050$.
Genial não? Então para se deduzir a fórmula da soma de $1$ até $n$, procedemos de forma análoga:
Seja $S_n$ a soma dos $n$ primeiros naturais. Então escrevendo a soma duas vezes, a segunda com ordem invertida
$S_n=1 + 2 + 3 + \ldots + n$
$S_n=n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 1$
podemos somar mentalmente cada coluna e verificar que todas as somas geram $n+1$ como resultado ($1+n$, $2+(n-1)$, etc.). Dado que temos $n$ colunas, obtemos
$2S_n=n(n+1)$
que gera a famosa fórmula da soma dos $n$ primeiros naturais
$S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
A validade da fórmula pode ser provada por indução, mas vou deixar para o leitor fazer.
Agora, o que acontece se nossa soma não for exatamente dos números naturais até $n$, isto é, qualquer outra progressão aritmética? Bem, seguimos o raciocínio análogo. Seja $S_n$ a soma da P.A. de razão $r$:
$S_n= a_1 + (a_1+r) + \ldots + (a_1+(n-1)r)$
$S_n= (a_1+(n-1)r) + (a_1+(n-2)r) + \ldots + a_1$
Cada coluna soma $2a_1+(n-1)r$ e há $n$ colunas. Assim:
$2S_n=n(2a_1+(n-1)r)$
$S_n=\dfrac{n(2a_1+(n-1)r)}{2}$
Como $a_1+(n-1)r=a_n$ temos:
$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$
Que é a fórmula da soma da PA genérica.
Abraços!
Fonte: Courant
