Derivadas: Provas, parte I

Devido ao início das aulas e uma grande carga de compromissos, postarei com menos frequência no blog. Esse breve post mostra um resultado muitas vezes apresentado nos livros mas poucas vezes provado pela definição, que é a derivada da função seno.

Primeiro lembramos que a definição de derivada é feita por limites e representa o quociente abaixo:

Dado então que

Substituímos na definição da derivada

.

Lembrando da soma de senos, obtemos:

Agrupando os fatores comuns

Agora podemos dividir o limite duma soma na soma dos limites:

Assim vamos trabalhar com as duas parcelas separadamente. Analisando a primeira, podemos "tirar" de dentro do limite o sen(x), já que não há dependência com h. Depois, multiplicamos em cima e em baixo por um fator comum para simplificar o numerador. Veja:

Substituímos o numerador através da relaçãoe desmembramos (o limite de um produto de n termos é o produto de n limites, um para cada termo):

Olhando isoladamente para a expressão dos limites dentro dos parênteses, vemos que:

   (A)

 

Ou seja, a primeira parcela que analisamos vale zero, cabe então determinar qual o limite da segunda parcela da soma abaixo:

Como

(usamos o mesmo resultado em A)
Segue que:

Como queríamos demonstrar.

Em um post anterior, publiquei um arquivo que demonstra o limite de seno de x sobre x usada para provar essa derivada. Confira.

Lembrando que existem outras demonstrações mais simples e elegantes da derivada do seno. Porém elas utilizam algumas relações trigonométricas não muito lembradas pelos alunos, por isso optei pela formula do seno da soma nos primeiros passos.

Até mais.