Continuando a série identidades interessantes, nesse post apresento mais uma identidade relacionada aos limites, geralmente chamada de "regra" de limite, dado abaixo:
Esse limite tende para o número de Euler (pronuncia-se "Óiler"). O numero "e" é uma constante muito importante para a matemática e surge em muitos ramos aparentemente desconexos, assim como a constante pi. Num outro post, vou falar um pouco mais da história do número e algumas propriedades a ele relacionadas.
Encontre o limite abaixo:
Para atacar o problema, vamos reescrever o numerador de forma a surgir um fator comum ao denominador, (somando e subtraíndo 5).
Podemos separar a fração em duas:
A primeira parcela é uma divisão do tipo a/a, portanto vale 1:
Agora devemos usar um truque algébrico muito comum na resolução de limites, que é a troca de variáveis.
O que vamos fazer é estabelecer uma nova variável t de forma que o limite acima fique idêntico a identidade que apresentei acima. A expressão sugere que devemos fazer:
Para que surja (1+1/t). O próximo passo é restabelecer a tendência do limite. Ora, se x tendia para infinito, t também vai tender, dada a nossa substituição.
Fazendo as trocas devidas, obteremos:
Utilizando algumas regras de exponenciais e de limites,
A segunda parcela da multiplicação resulta em 1. Cabe então resolver a primeira parcela. Repare que estamos quase perto da identidade. Basta algumas manipulações para chegar no resultado:
Esse exercício é só um exemplo de vários que resultam neste limite fundamental. Estude bem essas jogadas de troca de variáveis para resolvê-los com facilidade.
Abraços!
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