Por que alguns limites não existem..

A ideia de limites é, geralmente, o primeiro assunto tratado nas aulas de cálculo e sua importância é clara, uma vez que constituí a base teórica de todo o cálculo diferencial e integral. Na verdade, é uma ferramenta que permite analisar sistematicamente o comportamento de funções nas proximidades de um ponto importante. Essa abordagem permite definir algumas propriedades das funções, como por exemplo, dizer se ela é diferenciável naquele ponto. Nesse post vou analisar uma função a partir do limite em um ponto problemático.

Primeiro vamos a alguns lembretes importantes:

1- Usamos a notação simbólica $\lim_{x\to c}f(x)=L$ para dizer: "O valor do qual a função $f(x)$ se aproxima, quando $x$ tende a um ponto $c$, é $L$". Em outras palavras, queremos dizer que quando atribuímos um valor próximo de $c$ (e não propriamente $c$) para variável independente $x$, o valor da $f(x)$ se aproxima de $L$. Como a ideia de limite está relacionada a uma tendência, ($x$ tende a $c$, $f(x)$ tende a $L$), não é interessante saber o valor da função exatamente no ponto $c$ (as vezes nem mesmo está no domínio da função, como veremos a seguir). Um erro comum é interpretar o sinal de igualdade como sendo de fato uma igualdade - o que não é. 

2- Limites laterais: Quando escrevemos $\lim_{x\to c^{-}}f(x)=L$ queremos dizer que $f(x)$ se aproxima de $L$ quando $x$ tende a $c$ vindo da esquerda para a direita (pensando numa reta real, onde, a partir do ponto inicial $0$ se determina os reais negativos a esquerda de $0$ e os positivos a direita de $0$). Para não haver confusão, podemos pensar que $x$ se aproxima de $c$ com valores menores do que $c$.

Da mesma forma $\lim_{x\to c^{+}}f(x)=L$ quer dizer que estamos nos aproximando de $c$ vindo da direita para a esquerda. Em outras palavras, queremos saber qual valor $f(x)$ se aproxima quando $x$ tende a $c$ assumindo valores maiores do que $c$.

3- Quando $\lim_{x\to c^{-}}f(x)\neq\lim_{x\to c^{+}}f(x)$ o limite não existe - é essa identidade que usaremos abaixo para mostrar porquê uma função não tem limite. Quando a igualdade se confirma, o limite existe.

4- Dizemos que a função tem assíntota vertical no ponto $c$ se $\lim_{x\to c}f(x) = \infty $.

Dados os lembretes, partiremos para a análise da função que motivou o post. Utilizarei o software Mathematica para auxiliar nas contas e gráficos.

Considere a função $f(x)=\dfrac{1}{x}$ com $x\in\mathbb{R}^*$. Encontre o $\lim_{x\to 0}f(x)$.

Começamos verificando que nosso ponto problemático é o zero, de forma que $x\neq 0$, pois se assim fosse cairíamos numa indeterminação do tipo $\frac{1}{0}$. Vemos também que $f(x)>0$ para todo $x>0$ e que $f(x)<0$ para todo $x<0$.

Para encontrar o limite precisamos verificar os limites laterias. Havendo igualdade, pelo nosso lembrete 3, o limite existe.

Primeiro analisamos numericamente a aproximação $x\rightarrow 0$ na seguinte forma:

Definimos a função:

Depois aplicamos o comando Table, que retorna uma tabela de valores de f(x) dentro do intervalo indicado, cada vez mais próximos de 0, positivos.

Fazemos o mesmo com os valores próximos de 0, negativos.

Já vemos que para valores próximos de 0 a função "explode" para o infinito - mas explode para infinito positivo quando $x>0$ e infinito negativo para $x<0$. Esse é o caso de assíntotas verticais, como dito no lembrete 4. Com essas observações em mente, olhamos para o gráfico e confirmamos:

Agora avaliamos algebricamente o que vimos no gráfico com o comando Limit, que calcula o limite procurado:

O programa retornou infinito negativo e infinito positivo, e isso quer dizer que o limite não existe. Mesmo assim, há um outro argumento para mostrar que não há limite quando x~0. Dizemos, no sentido estrito, que para um limite existir ele deve convergir para um valor finito, e não infinito como ocorreu acima. Se houvesse um caso em que ambos os limites laterais fossem infinito, não se pode dizer que a função atinge um limite.

Em suma, o desenho abaixo mostra duas flechas, cada uma representando a ideia de que quanto mais próximo x esta de 0, mais f(x) tende assintoticamente para infinito positivo ou negativo.

Encerro esse que inaugura uma série de posts que mostrará por que certas funções não possuem limites. 

Se tiverem dúvidas, postem-nas no campo de comentários. Abraços!