O numero e.

Talvez seu primeiro contato com o número e tenha sido no ensino médio - uma passada rápida por logaritmos, um comentário do professor e mais nada que lhe despertasse o interesse. Você certamente se perguntou "Mas por que esse número? Temos a base 10, a base 2. Não precisamos de um número complicado para base do log". Dai pra frente você se esquece da existência da coisa, estuda para o vestibular e entra num curso superior voltado às exatas e se depara com ele novamente. Mas dessa vez o professor não deu aquela passada rápida; ele nem mesmo comentou sobre o número, só disse que daqui para a frente ele apareceria em quase tudo! Logo em seguida  apresentou propriedades, resolveu inúmeros limites com ele e ln's. Seu queixo cai e você tenta pescar uma vaga memória daquele dia em que o professor de cursinho falou do número e mas pulava e dançava ao mesmo tempo - você se lembra mais dos pulos e danças do que do número. Você se desespera e briga consigo mesmo, por não ter prestado a atenção...

Se você leu e se identificou com essa história, fique calmo, esse post vai lhe informar sobre o número de Euler e sua importância na matemática.

Os matemáticos gregos e principalmente os da Escola pitagórica acreditavam que o universo era "governado" pelos números inteiros positivos. Embora soubessem que algumas medidas não podiam ser expressas por inteiros, eles tinham certeza de que essas medidas poderiam ser expressas por razões entre inteiros positivos, de modo que todo número estaria contido numa reta ordenada com os inteiros e suas razões. A decepção veio 400 anos antes do nascimento de Cristo, quando os pitagóricos descobriram que o tamanho da diagonal dum quadrado de lado 1 não podia ser expressa como uma razão de inteiros. Essa contradição da crença de Pitágoras e seus seguidores de que o mundo era descrito por números perfeitos demorou a ser aceita por eles mesmos.

No fundo o problema dos gregos foi de descobrir o número que resolvia a equação:

1² + 1² = x²

2 = x²

x= 2(¹/²)

Conseguiu-se provar que tal número existia e a crença pitagórica caiu por água abaixo.  Além do mais, a idéia de que a reta numérica fosse completa com os inteiros e os racionais era falsa. Isto é, ela continha buracos - na verdade as posições onde os irracionais se encaixariam.

A história segue então com o "nascimento" de um novo conjunto - o dos números reais, que engloba todos os anteriores (naturais, inteiros, racionais e irracionais) e que goza da propriedade citada acima: ele é completo - isto é, não contém buracos. 

Então dentro desse conjunto dos reais, em que os números poderiam assumir uma forma decimal infinita (como por exemplo 0,23232323...), a matemática moderna começou a se estruturar e obviamente permitiu novas aplicações em outras áreas. E dentro dessas aplicações é de onde surge o numero irracional de Euler e. 

Na economia, por exemplo, aparece em juros compostos; na biologia surge no crescimento de populações; decaimento radioativo na química, entre outros. Em geral, quando estudamos as variações de grandezas em função de uma variável (isso explica por que esse número está intimamente ligado ao cálculo) cuja variação é proporcional a grandeza naquele instante, a constante aparece. 

Sua importância também decorre do fato que se definirmos uma função exponencial de base e, e^x, temos que sua derivada é ela mesma. Vejamos por que:

Primeiro tomamos a seguinte derivada utilizando uma propriedade dos logaritmos onde a^x é uma exponencial qualquer de base a:

 

pois ln(a) é uma constante.

Agora façamos a mesma derivada pensando numa regra da cadeia entre duas funções, ln x e a^x.

O resultado obviamente deve ser o mesmo do anterior, já que as funções são as mesmas.

Dessa segunda equação, tiramos que

Que é uma derivada genérica de qualquer função exponencial. Tomando agora a=e, provamos o resultado desejado:

Volto a ressaltar que essa propriedade é muito importante, utilizada principalmente na resolução de equações diferenciais.

A breve introdução histórica foi feita para mostrar que a crença grega era equivocada, no sentido de que somente números inteiros e razões poderiam descrever a natureza, mas estava certa em afirmar que os números descrevem de fato a natureza e seus fenômenos, e o numero de Euler é um dos que surge em muitos campos e por isso seu logaritmo leva o nome de logaritmo natural.

Curiosidades:

- O número e é irracional transcendente: Isto é, não existe polinômio com coeficientes reais tal que P(e)=0.

-  Existem diversas expressões matemáticas que resultam no e. Aqui vão algumas:

Referências: 
Livro - Meu professor de Matemática - Autor: Elon Lages Lima
Livro - Do zero ao infinito - Constance Reid