Módulo

Uma dúvida muito comum nos atendimentos dessa semana anterior a primeira prova de cálculo foi sobre a função módulo e como resolver problemas de limites e derivadas que envolvessem módulo. As dúvidas são naturais, na medida em que o ensino médio cada vez mais se volta ao preparo de alunos para o vestibular e não para o que vem depois da aprovação. Se houvesse uma contextualização (não necessariamente aplicações diretas dos assuntos), pelo menos uma apresentação sobre em que estágio do aprendizado o assunto seria utilizado (e por quê), talvez a matemática e suas ramificações seriam mais atraentes para quem procura aprender e, por conseqüência, as dúvidas elementares seriam menos freqüentes.

Vamos então rever a idéia de módulo analisando os exercícios do livro-texto empregado no curso de Cálculo I da FCA (Cálculo Vol. I - James Stewart 5a Edição).

Pág. 112 - Ex. 39-44 - Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.

39 - 

Bem, primeiros vamos pensar na função que está dentro do módulo. A soma x+4 é positiva sempre que e negativa quando . Então dividimos a função, e depois o limite, em 2 casos:

1o caso: 

2o caso: 

Como os limites laterais são iguais, segue que o limite existe e é 0.

40 - 

Vemos que a função dentro do módulo é igual a da anterior, segue então igualmente que a soma x+4 é positiva sempre que  e negativa quando. Então o limite é equivalente a:

pois estamos nos aproximando de -4 à esquerda, e isso significa que estamos utilizando valores de x tais que . Mas simplificamos a expressão de modo que obtemos: 

41 -

A função pode ser dividida, como anteriormente fizemos, em 2 casos:

 e obtemos:       

Então é evidente que o limite de f(x) quando x tende a 2 pela direita é diferente do limite quando x tende a 2 pela esquerda. Então o limite não existe.

Os outros exercícios seguintes são análogos e deixo para resolverem.

A idéia então é criar um "algoritmo" mental para resolver esses problemas: Quando surgir módulos, pensar em dividir caso a caso, respeitando os intervalos de variação da função (para quais valores ela é positiva, para quais ela é positiva) e aplicar os limites apropriados para cada caso.

Para a derivada da função módulo, é bom olhar a demonstração na página 170.

Na página 192 temos um bom exercício de módulo envolvendo derivadas. Ai vai ele:

58 - Onde a função é diferenciável? De uma fórmula para h'.

Primeiro precisamos encontrar números que zeram o primeiro módulo e o seguindo módulo e depois analisamos os intervalos:

  e      

Temos então que fazer uma intersecção de intervalos (verifique), de forma que a função fica escrita como:

Simplificando:

 E derivando:

Finalizo aqui então esse post que tem como intuito ajudar o pessoal que está com dificuldade em módulo. Qualquer dúvida deixar no comentário ou no e-mail. Abraços