Exercício resolvido, sequência

Bom, sobre o post anterior, acabou que o exercício não era para ser resolvido do modo que havia pensado. Mas consegui resolver bonitinho. Vai la (TENTE RESOLVER ANTES DE VER A RESLUÇÃO!):

Seja S a sequência abaixo. Encontre o 2009° termo.

$S = 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,...$

Vamos primeiro as idéias:

Bem primeiro pensei em arranjar os números num triângulo, parecido com o triângulo de Pascal, no qual dispus em linhas algumas "sub-seqüencias" e em colunas haviam os números 1,2,3,... consecutivamente.

Bom, a figura é autoexplicativa. Então tentei buscar relações entre os números, sem sucesso.

Ai então reconfigurei essa tabela de forma que a i-ésima formasse uma sequência, e a i+1-ésima coluna formasse uma sequência similar porém sem o primeiro termo da sequência anterior. Cheguei então nessa figura (que se extende para baixo e para a direita...), que ficou com cara de matriz triangular inferior.

Pensei então em fazer um somatorio de todos os elementos de cada coluna em função do número de colunas e tentar fazer um sanduíche: dizer que o n-ésimo termo estaria contido entre essas duas somas.

Descobri que estava errado em relação a soma do número de colunas, mas estava certo em relação a fazer um sanduíche. A sacada foi fazer a soma não de cada elemento, mas a soma do número de elementos. Veja só a resolução heurística:

Se fizermos a soma da quantidade de entradas preenchidas na figura acima obtemos $28.$ Mas repare que fazer a soma de todos os elementos é calcular a soma de uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 1 e razão igual a 1 também. Isto é:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n ) \cdot n}{2}$ mas como $a_n = n$ e $a_1 = 1$, temos:

$$S_n = \frac{n^2 + n}{2}$$

Veja que pondo $n=7$ obtemos $28$, etc. Vale dizer então que o n-ésimo termo "x" da sequência vai estar compreendido entre a soma da quantidade de elementos da matriz até a (n-1)-ésima linha e a soma até a n-ésima linha. É ai que entra o sanduíche. Isto é:

$$S_{n-1}= \frac{n^2-n}{2}< x < \frac{n^2 + n}{2}= S_{n}$$

Para verificar, vamos descobrir o 13° termo da sequência, que já sabemos ser $5$. O fato é que o 13° termo vai estar compreendido entre duas linhas, e queremos descobri-la. Colocando na desigualdade:

$$\frac{n^2-n}{2} < 13 < \frac{n^2 + n}{2}$$

$$n^2-n < 26 < n^2 + n$$

Repare que $$4 < \sqrt{26}< 5$$, testando $4$ e $5$ vemos que a inequação é válida somente para $n = 5$, como esperávamos. Agora basta aplicar o mesmo procedimento para encontrar o 2009° termo.

$$\frac{n^2-n}{2} < 2009 < \frac{n^2 + n}{2}$$

$$n^2-n < 4018 < n^2 + n$$

Como $$63 < \sqrt{4018}< 64$$, verificamos que somente 63 satisfaz, logo o 2009° termo é 63.

Talvez a explicação não tenha ficado muito clara, mas verifique alguns exemplos mentais, veja que cada linha dessa matriz que eu desenhei tem o número de termos igual ao primeiro termo, isto é, a quinta linha, que começa com $5$, tem $5$ elementos iguais a $5$. Isso sugere que na n-ésima linha existirião n termos, e na linha anterior existirão (n-1) termos, logo, um termo arbitrário necessariamente deve estar entre essas duas linhas. Trabalhando com a formula da soma genérica, conseguimos determinar qual valor se encaixa na desigualdade.

Bonito, não?