Mudança de Base

Ultimamente a correria não me deixa ter tempo de sentar e teclar um post grande e elaborado, mesmo tendo várias ideias para escrever - com algumas delas já escritas no papel.

Esse post vai precisar da boa vontade do leitor. Vou escrevê-lo sem muito cuidado, ainda mais porque vi que o suporte do LaTeX foi para o saco, e portanto não consigo escrever mais equações, assim, o papo será mais qualitativo do que os anteriores.

O que quero falar é sobre mudança de base, e para começarmos é preciso lembrar de algumas coisas:

Primeiro, é preciso lembrar que sempre ao trabalhar com vetores implicitamente assumimos que exista um espaço vetorial, dentro do qual os vetores estão definidos. Mas como os vetores estão definidos nesse espaço vetorial? Bem, para isso basta pegar um conjunto arbitrário de vetores e "fazer" todas as combinações lineares possíveis entre esses vetores. O fazer vai em aspas porque não fazemos de fato todas as combinações. Mas sabemos que, tomando um conjunto A de vetores, podemos fazê-lo corresponder a um outro conjunto B (infinito) de vetores cujos elementos são todas as combinações lineares possíveis dos elementos de A. Dessa forma B torna-se um espaço vetorial, e o conjunto A é chamado conjunto de geradores de B.

Agora repare que não impomos nenhuma condição sobre o tamanho do conjunto A, isto é, do conjunto gerador. Essa arbitrariedade permite que tentemos determinar o espaço vetorial B com o menor numero de elementos possíveis. Isso dá origem ao que chamamos de base. Assim, a base de um espaço vetorial fica definida como o menor conjunto gerador desse espaço vetorial (Essa definição parece lógica circular, mas não é!!).

Avançando um pouco, pode-se provar que a base de um espaço vetorial não é única e que qualquer base de um espaço vetorial tem a mesma quantidade de elementos (Repare que é natural isto acontecer). Esses teoremas dão origem ao que queremos chegar: mudança de base.

Então seja V um espaço vetorial tridimensional (por convenção) e x e w duas bases desse espaço. Se na base x um vetor v tem coordenadas (a,b,c) e na base w, v = (a',b',c'), como descobrir a relação entre a e a', b e b', c e c'? 

Essencialmente, esse é o problema de mudança de base - como expressar as coordenadas de v na base w sendo que você só conhece suas coordenadas na base x?

Para atacar esse problema, é preciso prosseguir da seguinte maneira:

• Suponha que v = a x1 + b x2 + c x3 (na base x) e v = a' w1 + b' w2 + c' w3 (na base w).
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• Como os vetores da base x e w pertencem ao mesmo espaço vetorial V, então é possível escrever tanto os vetores de x como combinação linear dos vetores de w e vice-versa - esse é o ponto principal para resolver esse problema!
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• Se você escrever essa combinação linear (por exemplo x1 = k11 w1 + k12 w2 + k13 w3, x2 = k21 w1 + k22 w2 + k23 w3, x3 = k31 w1 + k32 w2 + k33 w3) e resolvê-la para k_ij, chega-se numa matriz M dos coeficientes k.
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• Reserve essa matriz. Agora se você trocar o x1, x2, x3 na expressão de v = a x1 + b x2 + c x3 por x1 = k11 w1 + k12 w2 + k13 w3 ... (e assim por diante), e agrupar os termos em w1, w2 e w3, poderá fazer uma relação com v na base w, e assim determinar a relação de entre os coeficientes a e a', b e b', c e c'. Essa relação acaba sendo, no fim, a matriz transposta da relação entre as bases, M^t.

Basicamente, essa é a maneira como chegamos na matriz de mudança de base. Pode parecer meio complicado numa leitura, mas se o leitor estiver acompanhando com lápis e papel em mãos e acompanhando os passos com cuidado, é possível chegar nos resultados que tentei transcrever nessas palavras).

Então a P é a matriz de mudança de base de x para w, então P^(-1) é a matriz de mudança de base de w para x (não podia ser diferente).

Bem, depois é legal relacionar a mudança de base como uma transformação linear - fica mais interessante. Talvez num próximo post.

Abraços!