Máximos e Mínimos com Multiplicadores de Lagrange 2

Por conta da faculdade, estive algum tempo longe do blog mas não deixei de responder as dúvidas que eventualmente surgiam. Nesse periodo, comecei a pesquisar assuntos para escrever e acabei decidindo por falar novamente de Multiplicadores de Lagrange, pois esse foi um dos posts mais acessados do blog (Link aqui). O engraçado é que hoje esse post completa exatamente 1 ano, mas não por isso escolhi o mesmo tema. Enfim. Parabéns para o blog!

Hoje vamos resolver um exercício de máximos e mínimos simples que eu tirei do enunciado de uma prova do MIT (ocw.mit.edu) e que deve ter sido tirado de algum livro padrão (Stewart, Simmons). Dessa vez a resolução vai ser feita do modo convencional a partir do sistema não linear decorrente da equação que relaciona o gradiente da função e o gradiente da restrição. Vamos utilizar o Mathematica para visualizar a situação descrita pelo enunciado e entender o que se passa.

O exercíco em questão tem o seguinte enunciado:

Quais são os valores máximos e mínimos global da função $f(x,y,z)=xyz$ sobre a superfície elipsoidal de equação $2x^2+2y^2+z^2=2$.

Identificamos que a função a ser maximizada é $f(x,y,z)=xyz$ e a restrição do problema é a superfície elipsoidal $2x^2+2y^2+z^2=2$. Essa equação de elipsóide não está na forma canônica $\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 + \left(\dfrac{z}{c}\right)^2 = 1$. A forma canônica do elipsóide se reduz a uma equação de esfera quando $a=b=c=k$ e isso é intuitivo, pois como os valores de a,b e c determinam os alongamentos dos eixos do elipsoide na direção x, y e z, quando o alongamento é igual nas três direções, não se pode obter outra coisa senão a própria esfera.

Está ai a bola de futebol americano do enunciado!

Uma ideia interessante é tentar observar o que se passa através do enunciado. A função xyz está distribuida por todo espaço, ela é um tanto quanto problemática para valores pequenos de x y e z (por que?) mas é possível deduzir que ela vai cortar esse elipsóide algumas vezes e devemos determinar em quais pontos desse corte f(x,y,z) vai ter seu valor máximo.

Pois bem, esse exercício, diferentemente daquele que expliquei no primeiro post sobre Lagrange, possui somente uma restrição. Assim, o método dos multiplicadores nos diz que os pontos de máximo ou mínimo ocorrem quando o sistema

$\nabla f(x,y,z) = \lambda\nabla g(x,y,z)$

$g(x,y,z)=0$

É satisfeito. Lembramos que a primeira linha representa uma equação vetorial que dá origem a 3 equações escalares e a restrição deve ser reescrita como uma função escalar do $\mathbb{R}^3$, $g(x,y,z)=2x^2+2y^2+z^2=2$ e a condição $g(x,y,z)=0$ é a curva de nível que equivale à equação original.

Várias curvas de nível de g(x,y,z)

Expandindo as equações, chegamos em:

$yz = \lambda 4x$

$xz = \lambda 4y$

$xy = \lambda 2z$

$2x^2+2y^2+z^2-2=0$ 

Esse sistema é não linear com quatro variáveis e quatro equações. Para resolvê-lo, existe uma estratégia que quase sempre funciona quando caímos nessas equações pelo método de Lagrange.

A ideia é multiplicar a primeira linha por x e a segunda por y. Dessa forma, obtemos:

$xyz=\lambda 4x^2$

$xyz=\lambda 4y^2$

Dessa duas equações, chega-se em $\lambda 4x^2 = \lambda 4y^2$. A tentação de "cortar" tudo é muito grande, mas devemos ser cautelosos. Ao inves disso, reescrevemos $4\lambda(x^2-y^2)=0$. Essa equação é satisfeita se $\lambda = 0$ ou se $x^2=y^2$.

Analisando o caso que $\lambda=0$, caímos em $xy=0$, $xz=0$, $zy=0$. Isso implica que pelo menos duas variáveis são nulas e a terceira pode não ser. Supondo que $x=0$ e $y\neq 0$, vemos por eliminação que $z=0$. Assim, colocando esses valores na restrição $2(0)^2+2y^2+(0)^2-2=0$ determinamos $y=\pm 1$. Sumarizando, se $\lambda =0$ obtemos os pontos extremos $(0,0,\pm 1)$. Assim, $f(0,0,\pm 1)=0$. De forma geral, se $\lambda =0$, qualquer permutação do ponto $(0,0,\pm 1)$ é um ponto extremo.

Agora analisando o caso $x^2=y^2$, isto implica que $x=\pm y$. Supondo que $x=y$, por enquanto, vemos que da primeira equação chegamos em $z=4\lambda$ e pela terceira equação $x^2=2\lambda z$. Juntando esses dois casos, chegamos na relação $x^2 = \dfrac{z^2}{2}$. Substituíndo essa condição na restrição, chegamos em: $3z^2=2\Rightarrow z=\sqrt{\frac{2}{3}}$. Voltando com esse valor de z chegamos em $x=y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. O valor da função neste ponto é $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)=\dfrac{\sqrt{6}}{9}$. Como o valor de f neste ponto é maior que o ponto encontrado anteriormente pela condição $\lambda = 0$, concluí-se que este é um máximo global. Supondo que $x=-y$, chega-se nos mesmos resultados exceto pelo sinal de y, o que resulta num valor da função de: $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)=-\dfrac{\sqrt{6}}{9}$ que é o mínimo global.

Na figura vemos nosso elipsóide em azul e as curvas de nível da função f(x,y,z) com os dois pontos, um máximo e outro mínimo. Essas superfícies que parecem "cebolas invertidas" são as curvas de nível de f, ou seja, quando $xyz=K& onde K é uma constante qualquer. O elipsóide intersecciona a funçaõ f diversas vezes, porém, somente nos pontos em que encontramos acima é que f assume seu valor máximo.

Espero que a explicação do exercício tenha ficado clara. Um abraço a todos! Parabéns ao nosso post de Lagrange.