O que é transformação linear?

Vamos iniciar a série sobre transformações lineares respondendo exatamente a pergunta "O que é uma transformação linear?"

Não pretendo seguir uma formalidade e nem mesmo gastar muito tempo revisando o texto. Eu diria que 50% do que escrevo vem da cabeça, de coisas que eu já estudei, e nos outros 50% sigo o livro do Hoffman de Álgebra Linear. Então se houver algum erro corrijam-me por favor.

Se você procurar nos livros a definição, é provável que encontre algo mais ou menos nessa linha como no livro do Hoffman:

Seja $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre o corpo $F$. Uma transformação linear de $V$ em $W$ é uma função $T$ que leva vetores de $V$ em $W$ de tal forma que:

$T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$ e $T(av_1)=aT(v_1)$

para todo $v_1$ e $v_2$ em $V$ e todo $a \in F$.

Talvez seja essa a definição mais genérica possível, pois nem mesmo o corpo é explicitado. Em geral, o corpo dos números reais é o mais comumente utilizado, enquanto que na física, física matemática e certas aplicações de engenharia pode-se utilizar os corpo dos números complexos. Para saber mais sobre o que é um corpo, veja http://pt.wikipedia.org/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica).

Mas como traduzir essa formalidade para o terreno humano?

Veja então que uma transformação linear é necessariamente uma regra, isto é, uma função, que obedece as condições supracitadas, não necessariamente separadas. Pode-se ter da mesma forma uma transformação linear com a seguinte cara: $T(v_1+ a v_2) = T(v_1) + a T(v_2)$.

O fato da definição ser genérica pode dificultar nosso entendimento, mas vamos recorrer a alguns exemplos algébricos:

Seja $V$ e $W$ qualquer espaço vetorial. A transformação linear que leva um vetor nele mesmo é chamada transformação identidade e tem a seguinte forma: $Iv=v$ (a notação muitas vezes depende do autor, alguns usam parênteses, outros não... eu costumo utilizar quando quero dar alguma ênfase).

Há também a transformação nula, isto é, $0v=0$. Para verificar que são transformações lineares, basta verificar que:

1. $I(v_1+v_2) = I(v_1)+I(v_2) = v_1 + v_2$, pois $I(v_1)=v_1$ e $I(v_2)=v_2$ por definição da transformação identidade. De mesmo modo, $I(av_1) = a I(v_1) = a v_1$.
2. $0(v_1+v_2)=0(v_1)+0(v_2)=0+0=0$. De mesmo modo $0(a v_1)=a 0(v_1)= a 0=0$.

Repare também que pela definição qualquer transformação linear do elemento neutro 0 resulta necessariamente no próprio elemento neutro, ou seja: $T(0) = 0$, pois $T(0) = T(0+0) = T(0) + T(0)$. Se $T(0)=T(0)+T(0)$, ao subtrair $T(0)$ dos dois lados chega-se em $T(0)=0$.

Devido a essa última propriedade, que pode ser enunciada como "qualquer transformação linear leva necessariamente o zero ao zero", pode haver uma certa confusão entre as transformações lineares e as funções lineares. As funções lineares podem ser vistas como retas no plano, mas as únicas funções lineares (retas no plano) que são também transformações lineares (no sentido que estamos justamente explicando) são aquelas que passam pela origem, pois toda transformação linear deve obedecer $T(0)=0$.

Para entender melhor, imagine duas funções $f(x)=2x$ e $g(x)=2x+3$. De fato, para uma escolha genérica de $x_1$ e $x_2$ :

Da definição da função $f(x_1+x_2)=2(x_1+x_2)$, mas pela propriedade da transformação linear $f(x_1+x_2) = f(x_1) + f(x_2) = 2 x_1 + 2 x_2 = 2(x_1+x_2)$. Logo, $f(x)$ é, além de função linear, uma transformação linear, pois $f(0)=0$.

Agora repare que $g(x_1+x_2)=2(x_1+x_2)+3$, mas $g(x_1) + g(x_2) = 2x_1 + 2x_2 + 6 \neq g(x_1+x_2)$, logo, $g(x)$ não é transformação linear, embora seja uma função linear.

Saindo um pouco da álgebra, é interessante pensar nas transformações lineares em termos geométricos. Sugiro ao leitor que consulte algum livro de álgebra linear para verificar as transformações lineares no plano: contração, dilatação, rotação, reflexão, cisalhamento horizontal, cisalhamento vertical, etc... Na figura de uma manipulação que programei no Mathematica, seguem alguns exemplos. O quadro da esquerda é o vetor original, o quadro da direita o vetor transformado:

 
Este foi o primeiro post da série de álgebra linear. Fique ligado nos próximos. Se houver qualquer dúvida, envie um comentário.

Abraços