Derivadas do produto usando o Mathematica, parte 1

Olá,

Esse post vai falar sobre a derivada do produto de duas funções, que leva o nome de regra do produto. Primeiro mostraremos a demonstração formal dessa regra, depois verificaremos alguns exemplos no software mathematica. Na segunda parte desse post faremos uma conjectura sobre a n-ésima derivada do produto de duas funções a partir dos resultados. Por fim, vamos ver que essa conjectura é de fato verdadeira e recebe o nome de "fórmula de Leibniz".

Começamos então por lembrar da definição formal de derivada. Nesse post não vamos nos preocupar com algumas condições de existência, mas suponha que $f$ seja uma função derivável num intervalo que contenha um ponto. Dizemos que a $f$ é diferenciável num ponto $a$ se

$$\lim_{h\to a}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

existir. Uma boa dica para interpretar essa definição é emprestar da física a idéia de velocidade. Suponha que temos uma função $S(t)$ que define a posição dum móvel no tempo $t$. Segue então que o quociente $\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$ corresponde à velocidade média desse móvel ao longo do intervalo de tempo $\Delta t$, dentro do qual o móvel estava na posição $S(t)$ inicialmente, e no fim do período considerado estava em $S(t+\Delta t)$. Veja que a velocidade média depende tanto da função que descreve o movimento do móvel quando do intervalo de tempo considerado. Mas se o intervalo de tempo for muito pequeno, isto é, se $\Delta t\to 0$, o quociente pode ser escrito como $\lim_{\Delta t\to 0}\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$, essa expressão não mais depende de $\Delta t$, somente de $S$ e de $t$. Esse limite é defindo como a velocidade instantânea do móvel e escrevemos $S`(t)$.

Fugindo da física, é útil pensar em função como um operador (que obedece as leis básicas da álgebra) de variáveis. Isso dá mais liberdade e praticidade para escrever algumas expressões e utilizaremos na demonstração de uma derivada a seguir. Por exemplo, podemos expressar uma soma de funções $f(x)+g(x)$ como $(f+g)(x)$, assim como o produto de duas funções pode ser escrito como $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$.

Agora, vamos para o objetivo principal do post, a derivada do produto de duas funções. Podemos apresentá-la como uma definição:

Seja $f$ e $g$ funções diferenciáveis num ponto $a$, então:

$$(f\cdot g)`(a)=f`(a)\cdot g(a)+f(a)\cdot g`(a)$$

Prova: Utilizando a definição:

$$(f\cdot g)`(a)=\lim_{h\to 0}\frac{(f\cdot g)(a+h)-(f\cdot g)(a)}{h}=$$

$$=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a)}{h}=$$

Somando e subtraíndo $\frac{f(a+h)g(a)}{h}$ na ultima expressão:

$$=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a)}{h}+\frac{f(a+h)g(a)}{h}-\frac{f(a+h)g(a)}{h}=$$

$$=\lim_{h\to 0}[\frac{f(a+h)[g(a+h)-g(a)]}{h}+\frac{g(a)[f(a+h)-f(a)}{h}]=$$

$$=\lim_{h\to 0}f(a+h)\cdot\lim_{h\to 0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\cdot\lim_{h\to 0}g(a)=$$

$$=f`(a)\cdot g(a)+f(a)\cdot g`(a)$$

A demonstração envolve um truque de somar e subtrair um termo para poder arranjar os outros e chegar no resultado.

Bem, agora vamos verificar alguns exemplos no Mathematica. O interessante é que esse software nasceu essencialmente simbólico, e por isso sabe muito bem cálculo e se dá bem com essas contas, veja lá:

Veja que na primeira linha utilizamos um comando para definir uma função que é o produto de duas outras. Quando definimos uma função colocamos a variável entre colchetes seguido de um underline _. O símbolo := significa atribuição, mas não no mesmo sentido da programação em C, por exemplo. Depois veremos isso com mais calma numa outra oportunidade. Seguimos a atribuição com o produto de duas funções genéricas de x, f e g. Na segunda linha entramos com a notação usual da derivada, mas poderia ter sido D[p[x],x] também. A terceira linha fornece o resultado, como previsto pela definição acima.

Usando a outra notação: Escrevemos D[função,x]. Repare que todo comando tem seus argumentos dentro de colchetes, assim como as funções (Cos[x], Sin[x], Abs[x] (módulo de x)). Em particular, a operação feita por D[] exige que se especifique em qual variável ocorrá a derivação. Na segunda linha, obtemos o resultado.

A parte 1 do post termina aqui. Quem estiver interessado, procure realizar sucessivas derivações de um produto de funções para ver o que acontece. No próximo post vamos fazer isso com ajuda do software e depois mostrar um caso geral.

Caso queira ler mais posts sobre derivadas, temos uma demonstração da derivada da função seno aqui.
Até mais!