Transformações Lineares de forma qualitativa

Boa noite pessoal,

Há tempos que não escrevo no blog e isto se deve, é claro, ao grande número de tarefas que surgem no fim do semestre acadêmico e outras vicissitudes cotidianas. Não abandonei este espaço - pelo contrário. Tenho na cabeça muitos assuntos (não só de matemática) ainda para escrever, mesmo que devagar. 

Quanto a monitoria, faltaram posts sobre alguns tópicos de álgebra linear, como transformações lineares junto com diagonalização e cônicas. Acredito que esse assunto foi o menos compreendido pelos calouros, uma vez que essa matéria é sempre dada correndo, no fim do semestre, quando se acumulam outros trabalhos de outras disciplinas.

Para entender as transformações lineares, é preciso ter em mente o conceito de função. Uma transformação linear é uma função que atua em vetores e devolve outros vetores. Por ser definida dessa maneira, uma transformação linear não pode depender de base alguma do espaço, no sentido de que a imagem de um vetor sobre uma transformação deve ser a mesma, esteja esse vetor escrito em qualquer base do espaço.

Ora, tome por exemplo a transformação linear, no plano, de rotação anti-horária de 90 graus. Em termos de função, essa transformação linear é uma função que pega o vetor v e devolve o vetor v' que é v rodado de 90 graus. Se o espaço vetorial em questão é descrito pela base A, então o vetor v, na base A, vai se transformar num vetor v', também em A, rodado de 90 graus. Se o vetor v estivesse escrito numa base B e sofresse a transformação, o vetor resultante também seria v', embora suas coordenadas seriam diferentes pois a base B é diferente de A.

Filosofemos sobre o que acabei de dizer: se uma transformação linear tem uma aplicação intrínsica e determinada (girar noventa graus, por exemplo), então basta sabermos como ela atua em uma base qualquer do espaço para saber como ela atua em qualquer vetor do espaço. Nessa afirmação, as duas palavras grifadas não tem o mesmo significado. Perceba que no primeiro caso deve-se eleger uma base - qualquer conjunto de n vetores LI (sendo n a dimensão do espaço). No segundo caso, tendo sido determinada a transformação nessa base elegida e arbitrária, então conhece-se como os infinitos vetores do espaço vetorial mudam quando uma transformação é neles aplicada. Isso ocorre porque se a transformação linear é conhecida na base A, então basta escrever qualquer vetor do espaço em relação a base A.

É possível também se chegar numa maneira de aplicar a transformação em v, na base A, e obter como resposta v' na base B, caso seja conveniente.

A grande dificuldade é se despreender da visão cartesiana. Estamos acostumados a ela, mas há certos casos em que a base canônica não é a mais conveniente para se trabalhar. É ai que entra a tal da diagonalização de operadores e sua aplicação nas cônicas. Na equação das cônicas o termo misto é devido a uma rotação dos eixos normais da curva, de modo que a base de autovetores é a base em que a cônica fica escrita na forma simplificada sem o termo misto.

Talvez a dificuldade maior em tudo isso seja compreender a arbitrariedade presente na teoria de vetores e na álgebra linear como um todo. E isso se adquire com estudo, dedicação e tempo!

Mudando de assunto, neste segundo semestre serei monitor de Física III, que lida com eletrostática e eletromagnetismo clássicos. Portanto, posts sobre física serão mais recorrentes e, assim como fiz em álgebra linear, criarei um espaço dedicado somente aos assuntos da disciplina.

Gostei muito dessa matéria pois aprendi muito. Ver-se-á que o cálculo vetorial é muito bem aplicado nessa teoria, e os teoremas de Gauss e Stokes serão melhores compreendidos nas situações do eletromagnetismo do que foram em Cálculo 2. Embora a teoria eletromagnética clássica tenha sido de certa forma superada (esse não é o termo correto) com o advento da relatividade, da eletrodinâmica quântica, o curso serve como uma boa porta de entrada para a física matemática, física moderna, e também para a ciência contemporânea como um todo, além de ser um bom repositório prático para as situações do dia-a-dia em que lidamos com tomadas, lâmpadas, etc.

Esta será minha quarta monitoria na faculdade, a terceira voluntária. Espero que seja tão frutífera quanto foram as outras, tanto para os alunos quanto para mim.  Falando de outros números, o blog atingiu mais de três mil visitas, em mais de um ano e meio de idade e com 46 posts. Considero um sucesso! Obrigado aos visitantes.

E viva as ferias!